점화 관계와 일반항

1000만 원을 월 이자율 0.5%로 빌렸다. 매달 말에 이자가 붙고, 같은 금액 \(x\)원씩 갚는다. 그러면 \(n\)개월 뒤 남은 빚 \(a_n\)은 \(a_{n+1} = 1.005a_n - x\)라는 점화 관계를 따른다. 24개월 뒤 빚이 정확히 0이 되려면 \(x\)는 얼마여야 할까? 한 달씩 24번 계산해 맞추어 보는 대신, \(a_n\)을 \(n\)의 식으로 바로 쓸 수 있다면 한 번에 풀 수 있을 것이다. 이런 점화 관계의 일반항은 어떻게 구할까?

2.2.1고정점을 기준으로 보기

\(a_{n+1} = pa_n + q\) 꼴의 점화 관계는 수열이 변하지 않는 값, 곧 \(\alpha = p\alpha + q\)인 고정점을 먼저 찾으면 풀린다. 두 식을 빼면 \(a_{n+1} - \alpha = p(a_n - \alpha)\)이므로, 고정점에서 벗어난 정도 \(a_n - \alpha\)는 공비 \(p\)인 등비수열이다. 그래서 \(a_n = \alpha + (a_0 - \alpha)p^n\)이다. \(|p| < 1\)이면 수열은 고정점으로 다가가고, \(|p| > 1\)이면 고정점에서 점점 멀어진다. 그래서 점화식만 보고도 수열이 어디로 갈지 알 수 있다.

대출의 점화 관계는 \(p = 1.005\), \(q = -x\)이므로 고정점은 \(\alpha = \dfrac{-x}{1 - 1.005} = 200x\)이다. 고정점은 빚이 늘지도 줄지도 않는 금액, 곧 매달 갚는 \(x\)원이 이자와 꼭 같은 빚이다. 빚이 고정점보다 작으면 \(a_n - \alpha\)가 음수이고 1.005배씩 커지므로 빚은 점점 빨리 줄어든다. 두 항 점화 관계도 같은 생각으로, 등비수열 \(t^n\)이 점화식을 만족하도록 \(t\)를 정한 뒤 두 해를 섞어 처음 항에 맞춘다.¹

2.2.2점화식만 보고 내다보기

\(a_{n+1} = 0.5a_n + 3\)은 고정점이 6이고 \(p = 0.5\)이므로, 어디서 출발하든 6으로 다가가며 6과의 차이가 매번 절반이 된다. \(a_{n+1} = 2a_n - 3\)은 고정점이 3이지만 \(p = 2\)이므로, 3에서 조금만 벗어나도 차이가 두 배씩 커져 멀어진다. \(a_{n+1} = -a_n + 4\)는 \(p = -1\)이어서 고정점 2를 사이에 두고 두 값을 번갈아 오간다. 그래서 \(p\)의 크기와 부호를 보면 수열이 모이는지, 퍼지는지, 진동하는지 알 수 있다.

2.2.3예제 풀이

일반항은 \(a_n = 200x + (10^7 - 200x)\times1.005^n\)이다. \(a_{24} = 0\)이면 \(200x = (200x - 10^7)\times1.12716\)이므로 \(200x\times0.12716 = 10^7\times1.12716\), 곧 \(x = \dfrac{10^7\times0.005\times1.12716}{0.12716} \approx 443206\)원이다.

24개월 동안 갚은 돈은 \(443206\times24 \approx 1063.7\)만 원이므로 이자는 약 63.7만 원이다. 원금 1000만 원의 0.5%씩 24개월이면 120만 원이지만, 원금이 매달 줄어들어 실제 이자는 그 절반 남짓이다. 즉 \(a_{n+1} = pa_n + q\) 꼴의 점화 관계는 고정점을 기준으로 등비수열로 바꾸어 일반항을 구하고, 그 일반항으로 몇 번째 항의 조건을 한 번에 풀거나 수열이 어디로 갈지 내다볼 수 있다.

아래 탐구 카드에서 점화식만 보고 수열이 어디로 갈지 예측해 그래프로 확인하고, 대출을 갚는 매달 금액을 계산해 보자.

1. 이 방식처럼 매달 같은 금액을 갚는 것을 원리금 균등 상환이라 한다. 매달 원금을 같은 금액씩 갚는 원금 균등 상환은 처음에 더 많이 내지만, 원금이 빨리 줄어 전체 이자는 조금 적다.