양항급수의 판정법
본문똑같은 책을 탁자 끝에 쌓되, 위에서부터 차례로 무게 중심이 바로 아래 책의 끝에 오도록 조금씩 내민다. 맨 위 책은 둘째 책보다 책 길이의 \(1/2\), 둘째 책은 셋째 책보다 \(1/4\), 셋째 책은 넷째 책보다 \(1/6\)만큼 내밀 수 있다. 그러면 \(n\)권을 쌓았을 때 맨 위 책이 탁자 밖으로 나간 길이는 \(\tfrac12\left(1 + \tfrac12 + \tfrac13 + \cdots + \tfrac1n\right)\)이다. 책을 많이 쌓으면 이 길이는 어디까지 커질까? 맨 위 책이 탁자에서 완전히 벗어나려면 몇 권이 필요할까?
3.2.1항이 0으로 가도 발산할 수 있다
모든 항이 양수인 양항급수는 부분합이 늘어나기만 하므로, 단조수렴정리에 따라 부분합이 어떤 수를 넘지 못하면 수렴하고, 그렇지 않으면 무한대로 발산한다. 조화급수 \(\sum\frac1n\)은 항이 0으로 가지만 발산한다. 항을 \(1, \tfrac12, \tfrac13 + \tfrac14, \tfrac15 + \cdots + \tfrac18, \ldots\)처럼 묶으면 각 묶음이 \(\tfrac12\)보다 크므로, 묶음을 많이 더할수록 부분합이 끝없이 커지기 때문이다. 그래서 항이 0으로 가는 것은 수렴하기 위한 조건일 뿐, 그것만으로 수렴하지는 않는다.
\(f\)가 \([1, \infty)\)에서 양수이고 감소하며 \(a_n = f(n)\)이면 \(\sum a_n\)과 \(\int_1^\infty f(x)\,dx\)는 함께 수렴하거나 함께 발산한다(적분 판정법). \(0 \le a_n \le b_n\)일 때 \(\sum b_n\)이 수렴하면 \(\sum a_n\)도 수렴한다(비교 판정법). \(\lim a_{n+1}/a_n = \rho\)가 1보다 작으면 수렴하고 1보다 크면 발산한다(비 판정법).
적분 판정법은 급수를 직사각형 넓이의 합으로 보고 곡선 아래 넓이와 비교한 것이다. \(1/n\)의 직사각형들은 곡선 \(y = 1/x\) 아래의 넓이보다 크고, 그 넓이 \(\ln b\)가 끝없이 커지므로 조화급수도 발산한다. 반대로 \(1/n^2\)은 첫 항을 빼면 직사각형들이 곡선 \(y = 1/x^2\) 아래에 들어가고 그 넓이가 1이므로, \(\sum\frac{1}{n^2} < 1 + 1 = 2\)로 수렴한다. 그래서 급수 \(\sum\frac{1}{n^p}\)은 이상적분과 똑같이 \(p > 1\)일 때만 수렴한다.1
3.2.2어떤 판정법을 쓸까
판정법은 급수의 모양을 보고 고른다. \(\sum\frac{1}{n^2 + n}\)처럼 이미 아는 급수와 닮았으면 비교 판정법을 쓴다. \(\sum\frac{n}{2^n}\)이나 \(\sum\frac{1}{n!}\)처럼 거듭제곱이나 계승이 있으면 비 판정법이 편하다. 비 판정법은 \(\rho = 1\)일 때는 아무것도 알려 주지 않는데, \(\sum\frac1n\)과 \(\sum\frac{1}{n^2}\)이 모두 \(\rho = 1\)이면서 하나는 발산하고 하나는 수렴하기 때문이다. 그런 급수에는 적분 판정법이나 비교 판정법을 쓴다.
3.2.3예제 풀이
처음 질문에서 맨 위 책이 탁자에서 완전히 벗어나는 데 필요한 책 수를 구하여라. 적분 판정법의 부등식 \(\ln(n + 1) < H_n < 1 + \ln n\)을 써서, 탁자 밖으로 책 10권 길이만큼 내밀려면 대략 몇 권이 필요한지 어림하여라.
탁자 밖 길이가 1을 넘으려면 \(H_n > 2\)이어야 한다. \(H_3 = 1 + 0.5 + 0.333 = 1.833\), \(H_4 = 2.083\)이므로 네 권이면 \(\tfrac12\times2.083 \approx 1.04\)권 길이만큼 나가 맨 위 책이 탁자에서 완전히 벗어난다.
10권 길이를 내밀려면 \(H_n > 20\)이어야 한다. \(H_n < 1 + \ln n\)이므로 적어도 \(\ln n > 19\), 곧 \(n > e^{19} \approx 1.8\times10^8\)이다. 또 \(H_n > \ln(n + 1)\)이므로 \(n + 1 > e^{20}\)이면 충분해, 대략 2억에서 5억 권 사이가 필요하다. 그래서 조화급수는 분명히 발산하지만 그 속도가 로그처럼 느려서, 실제로 쌓을 수 있는 책으로는 몇 권 길이밖에 내밀 수 없다. 즉 양항급수의 수렴은 부분합이 어떤 수를 넘지 못하는지로 정해지고, 적분 판정법은 급수를 넓이와 비교해 수렴 여부와 부분합의 크기를 함께 알려 준다.
아래 탐구 카드에서 \(\sum\frac{1}{n^2}\)과 \(\sum\frac1n\)을 넓이와 비교해 보고, 여러 급수에 맞는 판정법을 골라 보고, 책을 쌓아 내밀어 보자.
- \(\sum\frac{1}{n^2}\)의 정확한 값이 \(\pi^2/6\)이라는 것은 1734년 오일러가 밝혀, 수십 년 동안 풀리지 않던 바젤 문제를 해결했다. 조화급수가 발산한다는 것은 이미 14세기 프랑스의 오렘이 항을 묶는 방법으로 보였다.
양항급수는 부분합이 늘어나기만 하므로 어떤 수를 넘지 못하면 수렴하며, 항이 0으로 가는 것만으로는 수렴하지 않는다. 적분 판정법은 급수를 곡선 아래 넓이와, 비교 판정법은 아는 급수와, 비 판정법은 이웃한 항의 비와 견주어 판정하고, \(\sum 1/n^p\)은 \(p > 1\)일 때만 수렴한다. 처음 질문의 책 쌓기는 조화급수가 발산하므로 끝없이 멀리 내밀 수 있지만, 한 권 길이는 네 권, 열 권 길이는 수억 권이 필요하다.