급수

\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots\)처럼 끝없이 더하는 식은 끝까지 더해 볼 수 없습니다. 이 절에서는 처음 \(n\)개 항까지의 합인 부분합을 만들고, 부분합의 수열이 수렴하는지로 끝없는 덧셈의 값을 정합니다. 더하는 항이 0으로 가는지가 판정에 어떤 역할을 하는지, 그리고 그것만으로는 왜 부족한지도 살펴봅니다.

먼저 알면 좋은 것 합의 기호 \(\sum\)분수식의 소거(부분분수)수열의 극한에 대한 성질

본문

급수

본문

\(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{20} + \cdots\)처럼 끝없이 이어지는 덧셈은 실제로 끝까지 할 수 없다. 그런데도 이 합이 정확히 1이라고 한다. 또 \(1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} + \cdots\)은 더하는 수가 0으로 줄어드는데도 합이 한없이 커진다고 한다. 끝없는 덧셈의 값은 무엇으로 정할까?

더한 항의 수 \(n\)

그림 1. 파랑은 \(\sum \dfrac{1}{k(k+1)}\)의 부분합으로 1에 다가가고, 빨강은 \(\sum \dfrac{1}{k}\)의 부분합으로 느리지만 한없이 커진다.

먼저 알아야 할 것합의 기호 \(\sum\)(대수), 부분분수로 나누기, 수열의 극한에 대한 성질(수열의 극한의 성질).

1.4.1급수와 부분합

수열 \(\{a_n\}\)의 각 항을 끝없이 더한 식 \(a_1 + a_2 + a_3 + \cdots\)를 급수라 하고 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\)으로 쓴다. 끝없는 덧셈은 직접 할 수 없으므로, 첫째항부터 제\(n\)항까지의 합인 부분합 \(S_n\)을 만들고 \(n\)을 한없이 키울 때의 극한으로 급수의 값을 정한다.

정의 1.4.1 급수의 수렴

부분합 \(S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k\)의 수열 \(\{S_n\}\)이 \(S\)에 수렴하면 급수는 수렴한다고 하고 \[\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \lim_{n \to \infty} S_n = S\] 로 쓴다. \(S\)를 급수의 합이라 한다. \(\{S_n\}\)이 발산하면 급수는 발산한다.

\(\dfrac{1}{k(k+1)} = \dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k+1}\)로 나누면 부분합은 \[S_n = \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) = 1 - \frac{1}{n+1}\] 이다. 가운데 항이 서로 지워지고 처음과 끝만 남는다. \(n \to \infty\)이면 \(S_n \to 1\)이므로 급수의 합은 1이다. 그림 1에서 \(n\)을 늘리면 파란 점이 1에 다가간다.

1.4.2항이 0으로 가도 발산할 수 있다

급수가 수렴하면 \(a_n = S_n - S_{n-1}\)에서 \(\lim a_n = S - S = 0\)이다. 그러므로 \(\lim a_n \ne 0\)이면 급수는 발산한다. 하지만 거꾸로 \(\lim a_n = 0\)이라고 해서 급수가 수렴하는 것은 아니다.

정리 1.4.2 급수와 일반항의 관계

\(\sum a_n\)이 수렴하면 \(\lim a_n = 0\)이다. 따라서 \(\lim a_n \ne 0\)이거나 발산하면 \(\sum a_n\)은 발산한다. 역은 성립하지 않는다.

그 예가 \(\sum \dfrac{1}{k}\)이다. 항을 \(\dfrac{1}{2}\), \(\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4}\), \(\dfrac{1}{5} + \cdots + \dfrac{1}{8}\)처럼 묶으면 각 묶음이 \(\dfrac{1}{2}\)보다 크거나 같다. 묶음은 끝없이 이어지므로 합은 한없이 커진다. 그림 1의 빨간 점이 느리지만 멈추지 않고 올라가는 까닭이다.¹

그림 2. \(\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} \ge \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2}\)처럼 각 묶음이 \(\dfrac{1}{2}\) 이상이므로 조화급수는 발산한다.

1.4.3예제 풀이

예제 1.4.3

급수 \(\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{2}{(2n-1)(2n+1)}\)의 합을 구하여라. 또 급수 \(\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{n}{n+1}\)이 수렴하는지 판정하여라.

\(\dfrac{2}{(2n-1)(2n+1)} = \dfrac{1}{2n-1} - \dfrac{1}{2n+1}\)이므로 부분합은 \(S_n = 1 - \dfrac{1}{2n+1}\)이다. \(n \to \infty\)일 때 \(S_n \to 1\)이므로 합은 1이다.

\(\lim \dfrac{n}{n+1} = 1 \ne 0\)이므로 둘째 급수는 발산한다. 1에 가까운 수를 끝없이 더하면 합이 한없이 커지는 것은 당연하다. 일반항의 극한이 0이 아니면 부분합을 구할 필요도 없이 발산을 판정할 수 있다.

아래 탐구 카드에서 부분합으로 급수의 합을 정하고, 항이 0으로 가는 급수의 수렴 여부를 직접 따져 보자.

조화급수의 부분합은 \(\ln n\)과 비슷한 빠르기로 커진다. 부분합이 10을 넘으려면 약 12 000개의 항을, 100을 넘으려면 \(10^{43}\)개가 넘는 항을 더해야 한다.

마무리

급수의 합은 부분합 \(S_n\)의 극한으로 정하며, 부분분수로 나누면 가운데 항이 지워져 부분합을 구할 수 있는 경우가 많다. 급수가 수렴하면 일반항은 0으로 가지만, 그 역은 성립하지 않는다. 그래서 처음 질문의 첫 급수는 부분합 \(1 - \tfrac{1}{n+1}\)이 1로 수렴하고, 조화급수는 항이 0으로 가도 부분합이 한없이 커져 발산한다.

탐구 1

끝없이 더한 값은 어떻게 정할까?

급수 · 부분합 · 급수의 합

더한 항의 개수 \(n\) = 5

—

마지막 항 \(a_n\): —
부분합 \(S_n\): —
급수: —

질문\(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{20} + \cdots\)처럼 끝없이 이어지는 덧셈은 끝까지 더할 수 없다. 그렇다면 이 덧셈의 값은 무엇으로 정해야 할까?
복원수열의 합 \(\sum_{k=1}^n a_k\)는 유한 개를 더한 값이다. 그리고 \(\frac{1}{k(k + 1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1}\)처럼 분수를 두 분수의 차로 나누면, 이웃한 항이 지워지며 합이 간단해진다.
설명수열 \(\{a_n\}\)의 각 항을 차례로 덧셈 기호로 이은 식 \(a_1 + a_2 + a_3 + \cdots\)을 급수라 하고 \(\sum_{n=1}^\infty a_n\)으로 쓰며, 첫째항부터 제\(n\)항까지의 합 \(S_n = a_1 + \cdots + a_n\)을 부분합이라 한다. 부분합의 수열 \(\{S_n\}\)이 \(S\)에 수렴하면 급수는 수렴한다고 하고, \(S\)를 급수의 합이라 하여 \(\sum_{n=1}^\infty a_n = S\)로 쓴다. 반면 \(\{S_n\}\)이 발산하면 급수도 발산한다. 곧 급수의 합은 끝까지 더한 값이 아니라 부분합의 극한이다.
연결수렴하는 두 급수 \(\sum a_n = S\), \(\sum b_n = T\)에 대해 \(\sum ka_n = kS\), \(\sum(a_n \pm b_n) = S \pm T\)가 성립하는데, 이것은 부분합에 수열의 극한에 대한 성질을 쓴 결과이다. 부분합을 식으로 구하기 어려운 급수는 다음 카드처럼 일반항을 먼저 살펴본다.
적용‘한 항 더하기’를 눌러 첫 번째 급수의 부분합을 쌓아 보면, 막대(더한 항)는 점점 짧아지고 초록 점(부분합)은 1에 다가간다. 아래 식에서 지워지지 않고 남는 항이 무엇인지, 두 번째 급수에서는 왜 두 항(1과 \(\frac{1}{2}\))이 남는지 보자. 세 번째 급수는 더하는 항이 0에 가까워지는데도 부분합이 \(\sqrt{n + 1} - 1\)로 끝없이 커지고, 네 번째 급수의 부분합은 1과 0을 오간다.
판단\(1 - 1 + 1 - 1 + \cdots\)을 \((1 - 1) + (1 - 1) + \cdots\)으로 묶어 0이라고 하거나, \(1 + (-1 + 1) + \cdots\)로 묶어 1이라고 하면 안 된다. 괄호를 마음대로 넣으면 다른 급수가 되기 때문에, 급수의 수렴과 발산은 반드시 부분합의 수열로 판정한다. 또 소거할 때 앞에서 남는 항과 뒤에서 남는 항의 개수가 같은지 확인해야 한다.

확인조건이 달라지면

급수 \(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n - 1)(2n + 1)}\)의 합은?

탐구 2

더하는 항이 0으로 가면 급수는 수렴할까?

급수의 수렴·발산 판정 · 일반항의 극한

더한 항의 개수 \(n\) = 1000

\(a_n\): —
\(S_n\): —
\(S_n - S(\frac{n}{10})\): —

급수: —

부분합은 첫째항부터 \(10^6\)번째 항까지 실제로 더해 계산했다. \(S_n - S(\frac{n}{10})\)은 \(\frac{n}{10}\)번째 항 다음부터 \(n\)번째 항까지 더한 양이다.

질문\(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots\)에서 더하는 항은 0에 한없이 가까워진다. 더하는 양이 거의 0이면 부분합은 어떤 값에서 멈출까?
복원급수가 수렴한다는 것은 부분합의 수열 \(\{S_n\}\)이 수렴한다는 뜻이다. 또 \(S_n - S_{n-1} = a_n(n \ge 2)\)이다.
설명급수 \(\sum a_n\)이 \(S\)에 수렴하면 \(\lim S_n = \lim S_{n-1} = S\)이므로 \(\lim a_n = \lim (S_n - S_{n-1}) = S - S = 0\)이다. 곧 급수가 수렴하면 \(\lim a_n = 0\)이고, 이 명제의 대우를 쓰면 \(\lim a_n \ne 0\)이면(또는 수렴하지 않으면) 급수는 발산한다는 판정법이 된다. 그러나 거꾸로 \(\lim a_n = 0\)이라고 급수가 수렴하는 것은 아니며, \(\sum \frac{1}{n}\)이 그 예이다. 항을 \(\frac{1}{2}, \frac{1}{3} + \frac{1}{4}, \frac{1}{5} + \cdots + \frac{1}{8}, \cdots\)처럼 2배 길이로 묶으면 묶음마다 \(\frac{1}{2}\) 이상이므로, 부분합은 \(\frac{1}{2}\)씩 끝없이 쌓인다.
연결즉 \(\lim a_n = 0\)은 급수가 수렴하기 위한 필요조건일 뿐 충분조건이 아니다. 그래서 일반항이 0으로 가는 급수는 부분합을 직접 구하거나, 다음 절의 등비급수처럼 부분합의 식을 아는 꼴로 바꾸어 판정한다.
적용\(\sum \frac{1}{n}\)에서 \(n\)을 10배씩 늘리며 \(S_n - S(\frac{n}{10})\)을 보면, 10배 구간마다 늘어나는 양이 거의 일정하다(약 2.3). 이 양이 줄지 않는다면 부분합이 어디로 가는지 생각하고, \(\sum \frac{1}{n^2}\)에서는 같은 양이 어떻게 변하는지 보자. \(\sum \frac{n}{n + 1}\)은 \(a_n\)만 보고도 판정할 수 있다.
판단‘\(\lim a_n = 0\)이므로 \(\sum a_n\)은 수렴한다’는 흔한 잘못이고, 일반항의 극한은 발산을 판정할 때만 결론을 준다. 또 \(\sum \frac{1}{n}\)의 부분합은 \(10^6\)항을 더해도 약 14.39에 불과해서 화면만 보면 수렴하는 것처럼 보일 수 있으므로, 판정은 묶어서 비교하는 것처럼 식으로 해야 한다.

확인조건이 달라지면

급수 \(\sum_{n=1}^\infty a_n\)이 수렴할 때, \(\lim_{n\to \infty} \frac{a_n + 3}{2 - a_n}\)의 값은?

AI 출제 문항연습문제 풀어보기12문항 수능·모의평가·학력평가기출문제 풀어보기71문항