등비급수
본문10 m 높이에서 떨어뜨린 공이 바닥에 닿을 때마다 떨어진 높이의 \(\dfrac{3}{5}\)만큼 다시 튀어 오른다고 하자. 공은 이론상 끝없이 튄다. 그렇다면 공이 움직인 거리도 끝없이 커질까? 같은 비율로 줄어드는 수를 끝없이 더한 값은 얼마일까?
1.5.1등비급수의 합
첫째항이 \(a\), 공비가 \(r\)인 등비수열의 각 항을 끝없이 더한 급수 \(a + ar + ar^2 + \cdots\)를 등비급수라 한다. \(r \ne 1\)일 때 부분합은 \(S_n = \dfrac{a(1 - r^n)}{1 - r}\)이다. 앞 절에서 \(|r| < 1\)이면 \(r^n \to 0\)이었으므로, 부분합은 \(\dfrac{a}{1 - r}\)에 수렴한다.
등비급수 \(\sum_{n=1}^{\infty} ar^{n-1}\) (\(a \ne 0\))은 \(|r| < 1\)이면 수렴하고 그 합은 \[\frac{a}{1 - r}\] 이다. \(|r| \ge 1\)이면 발산한다.
\(r = 1\)이면 같은 수 \(a\)를 끝없이 더하므로 발산하고, \(r \le -1\)이면 부분합이 진동하거나 크기가 커져 발산한다. \(|r| \ge 1\)이면 일반항 \(ar^{n-1}\)이 0으로 가지 않는다는 앞 절의 판정법으로도 알 수 있다.
1.5.2순환소수와 도형
순환소수 \(0.\dot{3} = 0.333\ldots\)은 \(0.3 + 0.03 + 0.003 + \cdots\)이므로 첫째항 \(0.3\), 공비 \(0.1\)인 등비급수이다. 합은 \(\dfrac{0.3}{1 - 0.1} = \dfrac{1}{3}\)이다. 같은 방법으로 \(0.\dot{9} = \dfrac{0.9}{0.9} = 1\)이다. 정사각형 안에 변의 중점을 이어 작은 정사각형을 끝없이 그려 넣을 때 넓이의 합처럼, 같은 비율로 줄어드는 도형의 넓이나 둘레의 합도 등비급수로 구한다.1
1.5.3예제 풀이
10 m 높이에서 떨어뜨린 공이 떨어진 높이의 \(\dfrac{3}{5}\)만큼 튀어 오르기를 끝없이 되풀이한다. 공이 움직인 전체 거리를 구하여라.
처음 10 m를 떨어진다. 그 뒤 \(10 \times \dfrac{3}{5} = 6\) m를 올라갔다가 6 m를 내려오고, 다시 \(6 \times \dfrac{3}{5}\) m를 오르내린다. 오르내린 거리는 \(2 \times (6 + 3.6 + 2.16 + \cdots)\)이다.
괄호 안은 첫째항 6, 공비 \(\dfrac{3}{5}\)인 등비급수이므로 합은 \(\dfrac{6}{1 - \frac{3}{5}} = 15\)이다. 따라서 전체 거리는 \(10 + 2 \times 15 = 40\) m이다. 그림 1에서 \(r = 0.6\)으로 맞추면 같은 값이 나온다. 공이 끝없이 튀어도 이동 거리는 유한하다.
\(r\)을 0.9로 올리면 \(10 + 2 \times \dfrac{9}{0.1} = 190\) m가 된다. 공비가 1에 가까울수록 합이 급격히 커진다. 아래 탐구 카드에서 등비급수의 합과 튀는 공을 직접 계산해 보자.
- '아킬레우스는 앞서 출발한 거북을 따라잡을 수 없다'는 제논의 역설도 등비급수로 풀린다. 따라잡는 데 걸리는 시간들이 공비가 1보다 작은 등비급수를 이루어 합이 유한하기 때문이다.
등비급수 \(\sum ar^{n-1}\)은 \(|r| < 1\)일 때 \(\dfrac{a}{1 - r}\)로 수렴하고, \(|r| \ge 1\)이면 발산한다. 순환소수와 같은 비율로 줄어드는 도형의 합도 등비급수로 구한다. 그래서 처음 질문의 공은 끝없이 튀지만, 이동 거리는 공비 \(\tfrac{3}{5}\)인 등비급수로 계산되어 40 m로 유한하다.