등비수열의 극한
본문\(1.01\)을 계속 곱하면 처음에는 거의 변하지 않지만, 700번쯤 곱하면 1000을 넘는다. 반대로 \(0.99\)를 계속 곱하면 0에 가까워진다. 1보다 조금 크냐 작으냐가 이렇게 큰 차이를 만든다. 그렇다면 \(-0.99\)나 \(-1\)을 계속 곱하면 어떻게 될까? 공비에 따라 등비수열의 극한을 한꺼번에 정리할 수 있을까?
1.3.1\(r^n\)의 극한
\(r > 1\)이면 \(r = 1 + h\) (\(h > 0\))로 쓸 수 있다. 이항정리에서 \((1 + h)^n \ge 1 + nh\)이고, \(1 + nh\)는 한없이 커지므로 \(r^n\)도 양의 무한대로 발산한다. \(0 < r < 1\)이면 \(\dfrac{1}{r} > 1\)이므로 \(\left(\dfrac{1}{r}\right)^n \to \infty\), 곧 \(r^n \to 0\)이다. 음수인 \(r\)은 \(|r|^n\)의 극한에 부호가 번갈아 붙는 것으로 볼 수 있다.
\(r > 1\)이면 \(\lim r^n = \infty\)(발산), \(r = 1\)이면 \(\lim r^n = 1\)(수렴), \(-1 < r < 1\)이면 \(\lim r^n = 0\)(수렴), \(r \le -1\)이면 진동(발산). 따라서 \(\{r^n\}\)이 수렴하기 위한 조건은 \(-1 < r \le 1\)이다.
그림 1의 슬라이더로 \(r\)을 바꾸어 보자. \(r = 0.95\)처럼 1에 가까우면 천천히, \(r = 0.3\)이면 빠르게 0으로 간다. \(r = -0.8\)이면 부호를 바꾸며 0으로 줄어들고, \(r = -1.1\)이면 부호를 바꾸며 점점 커져 진동한다.1
1.3.2밑이 다른 거듭제곱이 섞일 때
\(\dfrac{3^n + 2^n}{3^n - 2^n}\)처럼 밑이 다른 거듭제곱이 섞이면, 가장 빨리 커지는 항, 곧 절댓값이 가장 큰 밑의 거듭제곱으로 분모와 분자를 나눈다. 그러면 나머지 항은 \(\left(\dfrac{2}{3}\right)^n\)처럼 공비의 절댓값이 1보다 작은 등비수열이 되어 0으로 사라진다.
1.3.3예제 풀이
\(\lim_{n \to \infty} \dfrac{3^{n+1} + 2^n}{3^n - 2^{n+1}}\)을 구하여라. 또 수열 \(\left\{\left(\dfrac{x - 1}{2}\right)^n\right\}\)이 수렴하도록 하는 실수 \(x\)의 범위를 구하여라.
분자와 분모를 \(3^n\)으로 나누면 \(\dfrac{3 + \left(\frac{2}{3}\right)^n}{1 - 2\left(\frac{2}{3}\right)^n}\)이다. \(\left(\dfrac{2}{3}\right)^n \to 0\)이므로 극한은 \(\dfrac{3 + 0}{1 - 0} = 3\)이다.
공비가 \(\dfrac{x - 1}{2}\)이므로 \(-1 < \dfrac{x - 1}{2} \le 1\)이어야 한다. 각 변에 2를 곱하고 1을 더하면 \(-1 < x \le 3\)이다. 경계에서 \(x = 3\)이면 공비가 1이라 1로 수렴하지만, \(x = -1\)이면 공비가 \(-1\)이라 진동한다. 그래서 한쪽 끝만 포함된다.
아래 탐구 카드에서 공비에 따른 \(r^n\)의 극한과, 밑이 다른 거듭제곱의 비교를 직접 해 보자.
- \(r^n\)이 0에 얼마나 빨리 가는지는 \(|r|\)에 달려 있다. \(0.5^{10} \approx 0.001\)이지만 \(0.99^{10} \approx 0.90\)이다. 공비가 1에 가까울수록 수렴이 느리다.
등비수열 \(\{r^n\}\)은 \(|r| < 1\)이면 0으로, \(r = 1\)이면 1로 수렴하고, \(r > 1\)이면 발산, \(r \le -1\)이면 진동한다. 밑이 다른 거듭제곱이 섞이면 가장 큰 밑으로 나누어 나머지를 0으로 보낸다. 그래서 처음 질문의 \(-0.99\)를 곱한 수열은 부호를 바꾸며 0으로 수렴하고, \(-1\)을 곱한 수열은 \(\pm 1\)을 오가며 진동한다.