수열의 수렴과 발산
본문수열 \(1.9, 1.99, 1.999, \ldots\)는 2에 가까워진다고 말한다. 그런데 이 수열은 \(2.5\)에도, \(3\)에도 점점 가까워지고 있다. 거리가 줄어들기만 하면 '가까워진다'고 할 수 있다면, 이 수열의 극한은 2일까, 3일까? '한없이 가까워진다'는 말을 어떻게 정확히 할 수 있을까?
1.1.1수렴의 뜻
\(1.9, 1.99, 1.999, \ldots\)는 3과의 거리도 줄어들지만, 그 거리는 1보다 작아지지 않는다. 반면 2와의 거리 \(0.1, 0.01, 0.001, \ldots\)은 어떤 작은 양수보다도 결국 작아진다. '한없이 가까워진다'는 것은 거리가 줄어든다는 뜻이 아니라, 거리가 0에 한없이 가까워진다는 뜻이다.
수열 \(\{a_n\}\)에서 \(n\)이 한없이 커질 때 \(a_n\)이 일정한 값 \(\alpha\)에 한없이 가까워지면, 수열은 \(\alpha\)에 수렴한다고 하고 \[\lim_{n \to \infty} a_n = \alpha\] 로 나타낸다. 이때 \(\alpha\)를 수열의 극한값이라 한다.
그림 1의 수열 \(a_n = 1 + \dfrac{(-1)^n}{n}\)은 \(0, 1.5, 0.67, 1.25, \ldots\)처럼 1의 위아래를 오가며 1과의 거리가 \(\dfrac{1}{n}\)이다. 슬라이더로 \(\varepsilon\)을 줄여 보자. 띠가 좁아질수록 띠에 들어오기 시작하는 번째 수 \(N\)은 커지지만, 어떤 \(\varepsilon\)에 대해서도 \(N\)이 존재한다.1
1.1.2발산
수렴하지 않는 수열은 발산한다고 한다. 발산에는 몇 가지 모습이 있다. \(a_n = n^2\)처럼 한없이 커지면 양의 무한대로 발산한다고 하고 \(\lim_{n \to \infty} a_n = \infty\)로 쓴다. \(a_n = -2n\)처럼 음수이면서 절댓값이 한없이 커지면 음의 무한대로 발산한다. \(a_n = (-1)^n\)처럼 \(-1\)과 \(1\)을 번갈아 오가며 어느 한 값에도 가까워지지 않으면 진동한다고 한다.
1.1.3예제 풀이
수열 \(a_n = \dfrac{2n + 1}{n}\)이 2에 수렴함을 보이고, \(|a_n - 2| < 0.001\)이 되려면 \(n\)이 얼마보다 커야 하는지 구하여라.
\(a_n = \dfrac{2n + 1}{n} = 2 + \dfrac{1}{n}\)이므로 \(|a_n - 2| = \dfrac{1}{n}\)이다. \(n\)이 한없이 커지면 \(\dfrac{1}{n}\)은 0에 한없이 가까워지므로 \(\lim_{n \to \infty} a_n = 2\)이다.
\(\dfrac{1}{n} < 0.001\)이려면 \(n > 1000\)이어야 한다. 그러므로 1001번째 항부터는 모든 항이 2와 0.001보다 가깝다. 같은 방법으로 \(\varepsilon = 10^{-6}\)이면 \(n > 10^6\)이면 된다. 어떤 \(\varepsilon\)을 주어도 그에 맞는 번째 수를 찾을 수 있으므로 수렴한다.
처음 몇 항이 어떤 값이든 수렴 여부에는 영향이 없다. 수렴은 \(n\)이 충분히 클 때의 모습만으로 정해진다. 아래 탐구 카드에서 수렴의 뜻과, 처음 몇 항만 보고 판정하면 생기는 함정을 직접 확인해 보자.
- 대학에서는 이 생각을 '모든 \(\varepsilon > 0\)에 대하여 \(n \ge N\)이면 \(|a_n - \alpha| < \varepsilon\)이 되는 \(N\)이 존재한다'로 정확히 쓴다. 이를 \(\varepsilon\)-\(N\) 논법이라 한다.
수열이 \(\alpha\)에 수렴한다는 것은 \(n\)이 커질 때 \(a_n\)과 \(\alpha\)의 거리가 0에 한없이 가까워진다는 뜻이며, 아무리 작은 오차를 정해도 어느 항부터는 모두 그 안에 들어온다. 수렴하지 않으면 무한대로 발산하거나 진동한다. 그래서 처음 질문의 수열 \(1.9, 1.99, \ldots\)는 3과의 거리가 1보다 작아지지 않으므로 극한은 3이 아니라 2이다.