멱급수와 수렴반경

등비급수 공식에서 \(\dfrac{1}{1 + x^2} = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + \cdots\)이다. 함수 \(\dfrac{1}{1 + x^2}\)은 분모가 0이 되는 곳이 없어 모든 실수에서 매끄러운데, 오른쪽 급수에 \(x = 0.5\)를 넣으면 0.8로 잘 모이지만 \(x = 1.5\)를 넣으면 항이 점점 커져 발산한다. 같은 꼴의 급수 \(1 + x + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!} + \cdots\)는 어떤 \(x\)를 넣어도 수렴한다. 멱급수가 수렴하는 \(x\)의 범위는 무엇이 정할까?

3.4.1원점에서 같은 거리까지 수렴한다

\(\sum a_nx^n\)처럼 \(x\)의 거듭제곱에 계수를 곱해 더한 급수를 멱급수라 한다. 멱급수가 어떤 \(x_0\)에서 수렴하면 \(|x| < |x_0|\)인 모든 \(x\)에서 절대수렴하는데, 각 항이 수렴하는 등비급수의 항보다 작아지기 때문이다. 그래서 수렴하는 \(x\)의 범위는 원점을 가운데에 둔 구간이 되고, 그 구간의 반지름을 수렴반경이라 한다. 수렴반경은 비 판정법으로 구한다. \(\left|\dfrac{a_{n+1}x^{n+1}}{a_nx^n}\right| \to L|x|\)이 1보다 작으면 수렴하므로, \(|x| < 1/L\)에서 수렴한다.

\(\sum x^n/n!\)은 계수의 비가 \(\dfrac{n!}{(n+1)!} = \dfrac{1}{n+1} \to 0\)이므로 수렴반경이 무한대이다. 계승이 거듭제곱보다 훨씬 빨리 커져, 어떤 \(x\)를 넣어도 결국 항이 0으로 빠르게 줄어들기 때문이다. 반면 \(\sum x^n\)은 계수가 모두 1이어서 \(|x|\)가 1 이상이면 항이 줄지 않는다. 경계에서는 \(\sum\frac{x^n}{n}\)처럼 \(x = -1\)에서는 수렴하고 \(x = 1\)에서는 발산하는 급수도 있어, 반드시 따로 확인해야 한다.¹

3.4.2실수 밖의 걸림돌

\(\dfrac{1}{1 + x^2}\)의 급수는 \(-x^2\)을 공비로 하는 등비급수여서 \(|x^2| < 1\), 곧 \(|x| < 1\)에서만 수렴한다. 실수만 보면 \(x = \pm1\)에서 함수에 아무 일도 일어나지 않아 이상하다. 그러나 \(x\)를 복소수까지 넓히면 \(x = \pm i\)에서 분모 \(1 + x^2\)이 0이 된다. 멱급수는 원점에서 가장 가까운 걸림돌까지의 거리를 반지름으로 하는 원 안에서 수렴하는데, 원점에서 \(\pm i\)까지의 거리가 1이다. 그래서 실수에서는 보이지 않던 복소수의 걸림돌이 실수 구간의 수렴반경을 정한다.

3.4.3예제 풀이

계수의 비는 \(\dfrac{(n+1)/3^{n+1}}{n/3^n} = \dfrac{n + 1}{3n} \to \dfrac13\)이므로 수렴반경은 \(R = 3\)이다. 그래서 \(|x| < 3\)에서 절대수렴하고 \(|x| > 3\)에서 발산한다.

\(x = 3\)이면 급수는 \(\sum n\)이고, \(x = -3\)이면 \(\sum(-1)^nn\)이다. 두 경우 모두 항이 0으로 가지 않으므로 발산한다. 그래서 수렴하는 범위는 열린구간 \((-3, 3)\)이다. 즉 멱급수는 원점을 가운데에 둔 구간에서 수렴하고, 그 반지름은 계수의 비의 극한의 역수이며, 경계는 급수마다 따로 판정해야 한다. 함수가 실수에서 매끄러워도 복소수의 걸림돌이 수렴반경을 정할 수 있다.

아래 탐구 카드에서 여러 멱급수의 부분합을 그려 수렴반경을 확인하고, \(\dfrac{1}{1 + x^2}\)의 급수가 \(|x| < 1\)에서만 맞는 까닭을 복소수의 걸림돌로 알아보자.

1. 수렴반경이 복소수의 걸림돌까지의 거리라는 것은 19세기 프랑스의 코시가 복소함수를 연구하며 밝혔다. 수렴하는 영역이 복소평면에서 원 모양이어서 반지름이라는 뜻의 이름이 붙었다.