교대급수와 절대수렴·조건수렴

\(1 - \tfrac12 + \tfrac13 - \tfrac14 + \tfrac15 - \cdots\)를 계속 더하면 부분합이 위아래로 흔들리며 \(\ln 2 \approx 0.693\)으로 모인다. 그런데 같은 항들을 양수 하나, 음수 둘의 순서로 \(1 - \tfrac12 - \tfrac14 + \tfrac13 - \tfrac16 - \tfrac18 + \tfrac15 - \cdots\)처럼 늘어놓으면 합이 \(\tfrac12\ln2 \approx 0.347\)이 된다. 유한 개의 수는 더하는 순서를 바꾸어도 합이 같은데, 무한히 많은 수에서는 왜 순서가 합을 바꿀까? 어떤 급수에서는 순서를 바꾸어도 괜찮을까?

3.3.1더했다 뺐다 하며 모이다

항의 부호가 번갈아 바뀌는 급수를 교대급수라 한다. \(1 - \tfrac12 + \tfrac13 - \cdots\)의 부분합은 1에서 시작해 \(\tfrac12\)을 빼서 내려가고, \(\tfrac13\)을 더해 올라가지만 처음보다는 덜 올라간다. 항의 크기가 줄어들므로 오르내리는 폭이 점점 좁아지고, 홀수 번째 부분합은 감소하고 짝수 번째 부분합은 증가하면서 둘이 같은 값으로 다가간다. 그래서 조화급수는 발산하지만 부호를 번갈아 붙인 급수는 수렴한다.

교대 조화급수는 절댓값을 붙이면 조화급수가 되어 발산하므로 조건수렴한다. 조건수렴하는 급수에서는 양수 항만 모아도 무한대, 음수 항만 모아도 음의 무한대로 발산한다. 그래서 양수 항을 충분히 모아 원하는 수를 넘긴 뒤, 음수 항을 모아 그 수 아래로 내려가는 일을 되풀이하면, 순서를 바꾸어 어떤 합이든 만들 수 있다. 반면 \(\sum\frac{(-1)^{n+1}}{n^2}\)처럼 절대수렴하는 급수는 양수 항과 음수 항이 각각 수렴하므로 순서를 바꾸어도 합이 그대로이다.¹

3.3.2양수 하나, 음수 둘

처음 질문의 재배열을 세 항씩 묶어 보자. \(\left(1 - \tfrac12\right) - \tfrac14 + \left(\tfrac13 - \tfrac16\right) - \tfrac18 + \left(\tfrac15 - \tfrac{1}{10}\right) - \cdots\)에서 괄호 안은 각각 \(\tfrac12, \tfrac16, \tfrac{1}{10}, \ldots\)이다. 그러면 전체는 \(\tfrac12 - \tfrac14 + \tfrac16 - \tfrac18 + \tfrac1{10} - \cdots = \tfrac12\left(1 - \tfrac12 + \tfrac13 - \tfrac14 + \cdots\right)\)이 되어 원래 합의 절반이다. 같은 항을 모두 쓰면서도 음수 항이 양수 항보다 두 배 빨리 쓰이므로, 앞부분에 음수가 몰려 합이 줄어든 것이다.

3.3.3예제 풀이

교대급수 판정법의 오차 \(|S - S_n| \le \dfrac{1}{n + 1}\)이 0.01 이하이려면 \(n + 1 \ge 100\), 곧 \(n \ge 99\)이다. 그림 1에서 \(n = 100\)일 때 오차가 약 0.005로 기준 안에 든다. 교대 조화급수는 수렴이 느려서 소수 둘째 자리를 맞추는 데도 100항 가까이 필요하다.

둘째 급수는 \(\dfrac{1}{(n + 1)^2} \le 0.001\)이려면 \(n + 1 \ge 32\)이므로 31항이면 충분하다. 이 급수의 합은 \(\pi^2/12 \approx 0.8225\)이다. 그래서 항이 빨리 줄수록 적은 항으로 정확한 합을 얻는다. 즉 교대급수는 항의 크기가 줄어 0으로 가면 수렴하고 오차가 다음 항보다 작지만, 절댓값의 급수가 발산하는 조건수렴이면 항의 순서를 바꾸는 것만으로 합이 달라진다.

아래 탐구 카드에서 교대급수의 부분합이 극한 위아래를 번갈아 지나는 모습을 그려 보고, 더하는 순서를 바꾸어 합이 어떻게 달라지는지 확인해 보자.

1. 조건수렴하는 급수를 재배열해 어떤 실수든 합으로 만들 수 있다는 것은 1854년 독일의 리만이 증명해 리만 재배열 정리라 부른다. 무한히 많은 수를 더할 때 순서가 중요하다는 이 결과는 급수를 엄밀하게 다루게 된 계기 가운데 하나이다.