단조수렴정리

계산기에 2를 넣고 \(\sqrt{\ }\) 단추를 누른 뒤, 2를 더하고 다시 \(\sqrt{\ }\)을 누르는 일을 되풀이했다. 화면에는 1.4142, 1.8478, 1.9616, 1.9904, 1.9976이 차례로 나왔다. 값은 매번 커지지만 2를 넘은 적은 없다. 이 수열 \(a_{n+1} = \sqrt{2 + a_n}\)은 2로 수렴할 것 같다. 그런데 극한을 \(L\)로 놓고 \(L = \sqrt{2 + L}\)을 풀어 \(L = 2\)를 얻는 풀이는, 수열 \(a_{n+1} = 2a_n\)에 똑같이 쓰면 \(L = 0\)이라는 엉터리 답을 준다. 무엇이 다를까?

3.1.1늘기만 하고 넘지 못하면

수열의 항이 늘어나기만 하거나 줄어들기만 하면 단조 수열이라 한다. 늘어나기만 하는 수열은 둘 중 하나이다. 끝없이 커지거나, 어떤 수를 넘지 못한 채 어딘가에 쌓여 가거나이다. 넘지 못하는 수가 있다면, 그런 수들 가운데 가장 작은 수가 있고 수열은 그 수에 한없이 가까워진다. 실수에는 빈틈이 없어서 이런 가장 작은 수가 늘 존재한다. 그래서 위로 유계인 증가 수열은 극한값을 직접 몰라도 수렴한다는 것을 알 수 있다.

\(L = g(L)\)을 푸는 풀이는 수열이 수렴한다는 것이 먼저 밝혀졌을 때만 쓸 수 있다. 수렴한다면 \(a_n\)과 \(a_{n+1}\)이 모두 \(L\)로 가므로 등식이 성립하지만, 수렴하지 않는 수열에서는 \(L\)이라는 수 자체가 없다. \(a_{n+1} = 2a_n\)에서 \(L = 0\)이 나온 것은, 수열이 0으로 간다는 뜻이 아니라 만약 수렴한다면 0일 수밖에 없다는 뜻이다. 실제로는 수렴하지 않으므로 그 답은 아무 뜻이 없다.¹

3.1.2귀납법으로 두 가지를 보이다

\(a_{n+1} = \sqrt{2 + a_n}\)이 수렴함을 보이려면, 수열이 증가한다는 것과 위로 유계라는 것을 수학적 귀납법으로 보인다. 위로 유계는 \(a_n < 2\)이면 \(a_{n+1} = \sqrt{2 + a_n} < \sqrt4 = 2\)라는 데서 나온다. 증가는 \(0 < a_n < 2\)일 때 \(a_n^2 < a_n + 2\), 곧 \((a_n - 2)(a_n + 1) < 0\)이므로 \(a_n < \sqrt{2 + a_n} = a_{n+1}\)이라는 데서 나온다. 두 성질이 모두 성립하므로 단조수렴정리에 따라 수열은 수렴한다.

3.1.3예제 풀이

\(a_2 = \tfrac12(1 + 3) = 2\)이다. \(n \ge 2\)이면 산술평균과 기하평균의 관계로 \(a_{n+1} = \tfrac12\left(a_n + \tfrac{3}{a_n}\right) \ge \sqrt{a_n\cdot\tfrac{3}{a_n}} = \sqrt3\)이므로 수열은 아래로 유계이다. 또 \(a_n \ge \sqrt3\)이면 \(a_n^2 \ge 3\)이므로 \(a_{n+1} - a_n = \dfrac{3 - a_n^2}{2a_n} \le 0\)이어서, 둘째 항부터 수열은 감소한다.

그래서 단조수렴정리에 따라 수열은 수렴하고, 극한 \(L\)은 \(L = \tfrac12(L + 3/L)\)을 만족한다. 정리하면 \(L^2 = 3\)이고 \(L \ge \sqrt3 > 0\)이므로 \(L = \sqrt3\)이다. 실제로 \(a_3 = 1.75\), \(a_4 \approx 1.7321\)로 \(\sqrt3 = 1.73205\cdots\)에 빠르게 다가간다. 이 수열은 뉴턴의 방법으로 \(\sqrt3\)을 구하는 수열과 같다. 즉 단조이고 유계인 수열은 극한값을 몰라도 수렴이 보장되며, 수렴을 먼저 보인 뒤에야 극한을 \(L\)로 놓고 방정식을 풀 수 있다.

아래 탐구 카드에서 증가하면서 위로 유계인 수열이 어디로 가는지 관찰하고, 극한을 \(L\)로 놓고 푼 풀이가 언제 틀리는지 확인해 보자.

1. 유계인 단조 수열이 늘 수렴한다는 것은 실수에 빈틈이 없다는 성질과 같은 말이다. 유리수만 쓰면 \(\sqrt2\)에 다가가는 유리수의 증가 수열이 있어도 극한이 유리수 안에 없어서 이 정리가 성립하지 않는다. 19세기에 데데킨트와 칸토어가 이 빈틈을 메운 실수를 엄밀히 정의했다.