두 극곡선의 교점과 사잇각

오른쪽으로 불룩한 카디오이드 \(r = 1 + \cos\theta\)와 왼쪽으로 불룩한 카디오이드 \(r = 1 - \cos\theta\)를 함께 그리면 두 곡선은 위, 아래, 그리고 가운데의 극에서 세 번 만난다. 그런데 두 식을 연립해 \(1 + \cos\theta = 1 - \cos\theta\)를 풀면 \(\cos\theta = 0\)이 되어 \(\theta = \pi/2\)와 \(3\pi/2\)의 두 점만 나온다. 극에서 만나는 세 번째 교점은 왜 연립방정식에서 빠졌을까? 그리고 두 곡선은 위쪽 교점에서 몇 도로 만날까?

2.4.1같은 점, 다른 좌표

직교좌표에서는 한 점에 좌표가 하나뿐이어서, 두 곡선의 식을 연립하면 교점이 모두 나온다. 그러나 극좌표에서는 같은 점이 여러 좌표를 가진다. 극은 \(r = 0\)이기만 하면 \(\theta\)가 무엇이든 같은 점이고, 다른 점도 \((r, \theta)\)와 \((r, \theta + 2\pi)\), \((-r, \theta + \pi)\)가 같은 점이다. 두 극방정식을 연립하는 것은 같은 \(\theta\)에서 같은 \(r\)을 갖는 점을 찾는 것이어서, 두 곡선이 서로 다른 각으로 같은 점을 지나면 그 교점은 나오지 않는다.

카디오이드 \(r = 1 + \cos\theta\)는 \(\theta = \pi\)에서 \(r = 0\)이고, \(r = 1 - \cos\theta\)는 \(\theta = 0\)에서 \(r = 0\)이다. 두 곡선 모두 극을 지나므로 극은 교점인데, 지나는 각이 달라 연립해서는 나오지 않는다. 그래서 극곡선의 교점을 구할 때는 연립방정식을 풀고, 극을 따로 확인하고, 그래프를 그려 빠진 점이 없는지 살핀다. 그래프는 계산이 놓친 교점을 찾는 가장 확실한 방법이다.¹

2.4.2교점에서 만나는 각

두 곡선이 한 교점에서 이루는 각은 그 점에서 두 접선이 이루는 각이다. 직교좌표의 기울기를 써서 구할 수도 있지만, 극곡선에서는 반지름과 접선의 각 \(\psi\)를 쓰는 편이 간단하다. 두 곡선의 접선은 같은 반지름에 대해 각각 \(\psi_1\), \(\psi_2\)만큼 기울어져 있으므로, 두 접선이 이루는 각은 그 차이이다. 사잇각이 90°이면 두 곡선이 서로 수직으로 만난다고 한다.

2.4.3예제 풀이

연립하면 \(1 = 1 + \cos\theta\)에서 \(\cos\theta = 0\)이므로 \(\theta = \pi/2\), \(3\pi/2\)이고, 교점은 \((0, 1)\)과 \((0, -1)\)이다. 원 \(r = 1\)은 \(r = 0\)이 되는 각이 없어 극을 지나지 않으므로 극은 교점이 아니다. 또 \((-1, \theta + \pi)\)로 바꾼 식 \(-1 = 1 + \cos\theta\)는 \(\cos\theta = -2\)여서 해가 없다. 그래서 교점은 두 개이다.

\(\theta = \pi/2\)에서 원은 \(r' = 0\)이므로 \(\psi_1 = 90°\)이고, 카디오이드는 \(r = 1\), \(r' = -1\)이므로 \(\tan\psi_2 = -1\), 곧 \(\psi_2 = 135°\)이다. 사잇각은 \(135° - 90° = 45°\)이다. 대칭으로 \(\theta = 3\pi/2\)에서도 45°이다. 처음 질문의 두 카디오이드는 위쪽 교점에서 90°로 만난다. 즉 극곡선의 교점은 연립방정식만으로는 모두 나오지 않아 극과 다른 좌표 표현을 따로 확인해야 하고, 교점에서의 사잇각은 반지름과 접선이 이루는 각의 차로 구한다.

아래 탐구 카드에서 두 극방정식을 연립해 교점을 구하고 그래프와 비교해 보고, 마주 보는 두 카디오이드가 만나는 각을 재 보자.

1. 컴퓨터로 곡선의 교점을 구할 때도 같은 문제가 생긴다. 그래서 그래픽 프로그램은 극좌표 곡선을 그릴 때 먼저 직교좌표의 점들로 바꾼 뒤, 점들 사이의 선분이 서로 만나는지를 따져 교점을 찾는다.