직선과 평면에 관한 명제

본문

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평평한 운동장 한쪽에 높이 4 m인 깃대가 땅에 수직으로 서 있고, 깃대 밑동에서 3 m 떨어진 곳에 곧은 도로의 가장자리가 지나간다. 밑동에서 도로 가장자리에 수선을 그어 만나는 점을 H라 하자. 깃대 꼭대기에서 도로 가장자리까지 줄을 팽팽하게 당겨 가장 짧게 매려면, 줄의 끝을 H에 매야 할까, 다른 곳에 매야 할까? 공중에 있는 깃대 꼭대기에서 땅 위의 직선에 내린 수선을 땅 위에 그은 수선 하나로 찾을 수 있을까?

그림 1. PO가 땅에 수직이고 OH가 도로에 수직이면, PH도 도로에 수직이다. 그래서 H가 꼭대기에서 도로까지 가장 가까운 점이다.

먼저 알아야 할 것직선과 평면의 위치 관계, 직선과 평면의 수직, 삼각형의 합동 조건, 피타고라스 정리.

2.3.1평면에 수직인 직선

직선이 평면과 한 점에서 만나고, 그 점을 지나는 평면 위의 모든 직선과 수직이면 직선이 평면에 수직이라 한다. 그런데 평면 위의 모든 직선을 확인할 수는 없으므로, 평면 위에서 만나는 두 직선과 수직이면 평면에 수직이라는 판정법을 쓴다. 깃대가 땅에 수직인지 확인할 때 서로 다른 두 방향에서 깃대가 기울지 않았는지 보는 것과 같다. 이 판정법을 쓰면 공간의 수직 관계를 평면 위의 수직 관계로 바꾸어 증명할 수 있다.

정리 2.3.1 삼수선 정리

평면 \(\alpha\) 밖의 점 \(P\), 평면 위의 점 \(O\), 평면 위의 직선 \(l\), \(l\) 위의 점 \(H\)에 대하여 \(\overline{PO} \perp \alpha\)이고 \(\overline{OH} \perp l\)이면 \(\overline{PH} \perp l\)이다. 거꾸로 \(\overline{PO} \perp \alpha\), \(\overline{PH} \perp l\)이면 \(\overline{OH} \perp l\)이다.

증명은 이렇다. \(PO\)가 평면에 수직이므로 \(PO\)는 평면 위의 직선 \(l\)과 수직이다. 또 가정에서 \(OH\)도 \(l\)과 수직이다. 그래서 \(l\)은 만나는 두 직선 \(PO\)와 \(OH\)에 모두 수직이므로, 두 직선이 만드는 평면 \(POH\)에 수직이다. 그러면 \(l\)은 평면 \(POH\) 위의 직선 \(PH\)와도 수직이다. 즉 땅 위에 그은 수선 \(OH\) 하나로 공중의 점 \(P\)에서 \(l\)에 내린 수선의 발을 찾을 수 있다.¹

2.3.2평면에서 참인 명제가 공간에서도 참일까

평면에서 당연한 명제가 공간에서는 거짓이 되기도 한다. 평면에서는 한 직선에 수직인 두 직선이 서로 평행하지만, 공간에서는 교실 벽 모서리에 수직인 바닥의 두 모서리가 서로 수직이듯 평행하지 않을 수 있다. 또 평면에서는 만나지 않는 두 직선이 평행하지만, 공간에서는 만나지도 않고 평행하지도 않은 꼬인 위치의 두 직선이 있다. 그래서 공간의 명제는 평면의 직관에 기대지 말고, 반례를 찾아보거나 평면 위의 관계로 바꾸어 증명해야 한다.

그림 2. 평면에서 참인 명제도 공간에서는 반례가 생길 수 있다.

2.3.3예제 풀이

예제 2.3.2

처음 질문에서 \(PO = 4\) m, \(OH = 3\) m이다. 깃대 꼭대기 \(P\)에서 도로 가장자리 \(l\)까지의 최단 거리를 구하여라. 또 \(l\) 위에서 \(H\)로부터 4 m 떨어진 점 \(Q\)까지 줄을 매면 줄의 길이는 얼마인가?

삼수선 정리에서 \(PH \perp l\)이므로 \(H\)가 \(P\)에서 \(l\)에 내린 수선의 발이고, 최단 거리는 \(PH\)이다. 삼각형 \(POH\)는 \(\angle POH\)가 직각이므로 \(PH = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5\) m이다.

\(Q\)는 \(l\) 위에 있고 \(PH \perp l\)이므로 삼각형 \(PHQ\)는 \(\angle PHQ\)가 직각인 직각삼각형이다. 그래서 \(PQ = \sqrt{5^2 + 4^2} = \sqrt{41} \approx 6.4\) m로, \(PH\)보다 길다. 땅 위의 수선 하나만 그었는데도 공중의 점에서의 최단 거리와 다른 점까지의 거리가 모두 피타고라스 정리로 나온다. 즉 삼수선 정리는 공간의 수직 관계를 평면 위의 수선과 직각삼각형으로 바꾸어, 공중의 점에서 직선까지의 거리를 계산하게 해 준다.

아래 탐구 카드에서 평면 위에 그은 수선으로 삼수선 정리를 증명하고, 평면에서 참인 명제의 공간 반례를 찾아보자.

건물을 지을 때 기둥이 바닥에 수직인지는 서로 다른 두 방향에서 다림추를 내려 확인한다. 한 방향만 보면 다른 방향으로 기울어도 알 수 없기 때문이며, 이는 두 직선과 수직이면 평면에 수직이라는 판정법을 그대로 쓴 것이다.

마무리

직선이 평면 위의 만나는 두 직선과 수직이면 평면에 수직이며, 이 판정법으로 공간의 수직을 평면의 수직으로 바꾼다. 삼수선 정리는 \(PO \perp \alpha\), \(OH \perp l\)이면 \(PH \perp l\)이라는 것으로, 평면 위의 수선 하나로 공중의 점에서 직선까지의 수선을 찾게 해 준다. 처음 질문의 줄은 \(H\)에 매야 가장 짧고, 그 길이는 5 m이다.

탐구 1

평면 위에 그은 수선 하나로 공중의 수선을 어떻게 증명할까?

삼수선 정리 · 증명 조립

직선 \(l\)의 방향 = 30°

점 P의 높이 = 2

∠(PO, \(l\)): —
∠(OH, \(l\)): —
∠(PH, \(l\)): —

가정 평면 \(\alpha\) 밖의 점 P에서 \(\alpha\)에 내린 수선의 발이 O이고(\(\overline{\mathrm{PO}} \perp \alpha\)), O에서 \(\alpha\) 위의 직선 \(l\)에 내린 수선의 발이 H이다(\(\overline{\mathrm{OH}} \perp l\)).
\(\overline{\mathrm{PO}} \perp \alpha\)이고 \(l\)은 \(\alpha\) 위의 직선이므로 \(\overline{\mathrm{PO}} \perp l\)이다.먼저 무엇이 주어졌는지 정리해야 합니다.
\(l\)은 한 점 O에서 만나는 두 직선 PO, OH에 모두 수직이므로, 두 직선이 정하는 평면 POH에 수직이다.\(l\)이 PO와 수직이라는 것을 먼저 보여야, "두 직선에 모두 수직"이라고 말할 수 있습니다.
\(\overline{\mathrm{PH}}\)는 평면 POH 위의 직선이므로 \(l \perp \overline{\mathrm{PH}}\)이다.\(l\)이 평면 POH에 수직이라는 것이 먼저 필요합니다.
삼각형 POH는 직각이등변삼각형이므로 \(\overline{\mathrm{PH}} \perp l\)이다.POH의 모양은 P의 높이와 OH의 길이에 따라 달라집니다. 이등변이라는 근거도 없고, 이등변이어도 \(l\)과의 관계는 나오지 않습니다.

단계를 놓을 때마다 그림에 직각 표시와 평면 POH가 나타난다. 그림을 끌면 돌아간다.

질문공중의 점 P에서 바닥 위의 직선 \(l\)까지 가장 짧은 줄(수선)을 매달려고 한다. P 바로 아래 점 O에서 \(l\)에 수선을 그어 만난 점 H에 줄을 매면, 그 줄 PH가 정말 \(l\)과 수직일까?
복원직선이 평면에 수직이면 그 평면 위의 모든 직선과 수직이다. 거꾸로, 직선이 평면 위의 만나는 두 직선에 수직이면 그 평면에 수직이다.
설명삼수선 정리는 세 수선 PO, OH, PH 사이의 관계이다. ① \(\overline{\mathrm{PO}} \perp \alpha\), \(\overline{\mathrm{OH}} \perp l\)이면 \(\overline{\mathrm{PH}} \perp l\)이다. 열쇠는 \(l\)이 PO와 OH 두 직선에 모두 수직이라 평면 POH 전체에 수직이 되고, 그러면 그 평면 위의 PH와도 수직이 된다는 것이다. 같은 방법으로 ② \(\overline{\mathrm{PO}} \perp \alpha\), \(\overline{\mathrm{PH}} \perp l\)이면 \(\overline{\mathrm{OH}} \perp l\)이고, ③ \(\overline{\mathrm{PH}} \perp l\), \(\overline{\mathrm{OH}} \perp l\), \(\overline{\mathrm{PO}} \perp \overline{\mathrm{OH}}\)이면 \(\overline{\mathrm{PO}} \perp \alpha\)이다.
연결삼수선 정리로 점과 직선 사이의 거리를 구할 수 있다. \(\overline{\mathrm{PH}} = \sqrt{\overline{\mathrm{PO}}^2 + \overline{\mathrm{OH}}^2}\)이다. 또 두 평면이 이루는 각(이면각)을 잴 때 쓰는 직각도 이 정리로 찾는다.
적용단계를 쌓아 증명을 완성해 보자. 그다음 직선 \(l\)의 방향과 P의 높이를 바꾸어도 표의 세 각이 모두 \(90^\circ\)로 남는지 확인해 보자. 그림을 돌려 평면 POH가 \(l\)과 수직으로 서 있는 것을 보자.
판단"\(l\)이 PO에 수직"이라는 것만으로는 \(l\)이 평면 POH에 수직이라고 할 수 없다. 평면에 수직이려면 그 평면 위의 만나는 두 직선에 수직이어야 한다. 한 직선에만 수직인 직선은 그 직선 둘레로 얼마든지 돌 수 있다.

확인조건이 달라지면

평면 \(\alpha\) 밖의 점 P와 \(\alpha\) 사이의 거리가 4, P에서 내린 수선의 발 O에서 \(\alpha\) 위의 직선 \(l\)까지의 거리가 3일 때, P와 \(l\) 사이의 거리는?

탐구 2

평면에서 참인 명제가 공간에서도 참일까?

직선과 평면에 관한 명제 · 반례 찾기

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둘째 도형 움직이기 = 0

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회색 기준이 되는 직선이나 평면. 초록과 파랑은 조건을 만족하는 두 도형. 슬라이더를 움직이는 동안 조건은 늘 지켜진다. 그림을 끌면 돌아간다.

질문평면에서는 "한 직선에 수직인 두 직선은 평행하다"가 참이다. 같은 문장을 공간에서 말해도 될까?
복원공간에서 두 직선의 위치 관계는 만난다, 평행하다, 꼬인 위치에 있다(만나지도 평행하지도 않다)의 세 가지이다. 두 평면은 만나거나 평행한다.
설명명제가 거짓임을 보이려면 조건은 만족하지만 결론은 만족하지 않는 예, 곧 반례 하나면 충분하다. 공간에서는 "수직"이나 "평행"이라는 조건이 평면보다 약하게 묶어서, 둘째 도형이 기준을 축으로 돌 수 있는 경우가 많다. 예를 들어 z축에 수직인 직선은 높이만 정해 두면 방향을 마음대로 돌릴 수 있으므로, 두 직선이 꼬인 위치에 놓일 수 있다. 반대로 한 평면에 수직인 두 직선, 한 직선에 수직인 두 평면은 방향이 하나로 정해지므로 언제나 평행한다.
연결참인 명제는 증명해야 하지만, 거짓인 명제는 반례 하나로 끝난다. 이 차이는 앞으로 모든 수학 명제에 그대로 쓰인다. 공간 명제를 판정할 때는 교실의 벽, 바닥, 모서리를 떠올리면 반례를 빨리 찾을 수 있다.
적용명제를 하나씩 골라 먼저 참·거짓을 판단해 보자. 그다음 슬라이더로 둘째 도형을 움직이며 결론이 깨지는 순간이 있는지 찾자. 거짓인 명제 넷의 반례를 교실 안의 사물로 설명해 보자.
판단그림 몇 장에서 반례가 보이지 않는다고 명제가 참인 것은 아니다. 슬라이더가 보여 주는 것은 움직임의 일부뿐이다. 참인 명제 두 개는 앞 카드의 삼수선 정리처럼 논리로 증명해야 한다.

확인조건이 달라지면

공간에서 서로 다른 두 직선 \(l\), \(m\)과 평면 \(\alpha\)에 대하여 항상 참인 것은?