정사영

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넓이 2 m²인 태양광 패널을 지붕에 눕혀 두었다. 춘분날 정오 서울의 태양 고도는 52.5°이다. 패널을 남쪽으로 기울이면 햇빛을 더 정면으로 받아 전기를 더 많이 만든다. 그런데 햇빛을 얼마나 받는지는 패널의 넓이가 아니라, 햇빛과 수직인 평면에 비친 패널의 그림자 넓이로 정해진다고 한다. 기울어진 도형이 다른 평면에 만드는 그림자의 넓이는 어떻게 구할까? 패널은 몇 도로 기울여야 할까?

그림 1. 원판을 \(\theta\)만큼 기울이면 기울어진 방향의 길이만 \(\cos\theta\)배로 줄어 그림자는 타원이 되고, 넓이도 \(\cos\theta\)배가 된다.

먼저 알아야 할 것삼수선 정리(직선과 평면에 관한 명제), 두 평면이 이루는 각, 타원의 넓이, 삼각비.

2.4.1그림자는 한 방향으로만 줄어든다

점 \(P\)에서 평면 \(\beta\)에 내린 수선의 발을 \(P'\)이라 할 때, \(P'\)을 \(P\)의 정사영이라 한다. 도형의 모든 점의 정사영을 모은 것이 도형의 정사영이다. 평면 \(\alpha\)가 평면 \(\beta\)와 각 \(\theta\)를 이루면, 두 평면의 교선과 나란한 선분은 정사영해도 길이가 그대로이고, 교선에 수직인 선분은 길이가 \(\cos\theta\)배로 줄어든다. 그래서 \(\alpha\) 위의 도형을 교선과 나란한 가는 띠로 자르면 띠마다 폭만 \(\cos\theta\)배가 되므로, 넓이 전체도 \(\cos\theta\)배가 된다.

정리 2.4.1 정사영의 길이와 넓이

선분 \(AB\)가 평면 \(\beta\)와 각 \(\theta\)를 이루면 정사영의 길이는 \(\overline{A'B'} = \overline{AB}\cos\theta\)이다. 평면 \(\alpha\) 위의 넓이 \(S\)인 도형을 \(\alpha\)와 각 \(\theta\)를 이루는 평면 \(\beta\)에 정사영하면 넓이는 \[S' = S\cos\theta\]이다.

반지름 1인 원판을 60° 기울이면 기울어진 방향의 지름은 \(2\cos60° = 1\)로 줄고 그와 수직인 지름은 2 그대로이다. 그래서 그림자는 긴반지름 1, 짧은반지름 \(1/2\)인 타원이고, 타원의 넓이 \(\pi\times1\times\tfrac12 = \pi/2\)는 원판의 넓이 \(\pi\)에 \(\cos60° = 1/2\)을 곱한 것과 같다. 정사영의 넓이 공식은 원판처럼 모양을 알기 쉬운 도형에서 확인할 수 있고, 어떤 모양의 도형에도 그대로 쓸 수 있다.¹

2.4.2햇빛을 받는 넓이

나란한 햇빛이 패널에 닿을 때, 패널이 받는 빛의 양은 햇빛에 수직인 평면에 패널을 정사영한 넓이에 비례한다. 그 넓이는 패널의 넓이에 패널의 법선과 햇빛 방향이 이루는 각의 코사인을 곱한 것이다. 땅에 눕힌 패널의 법선은 하늘 꼭대기를 향하므로 햇빛과 \(90° - h\)의 각을 이루고, 받는 넓이는 \(S\sin h\)이다. 패널을 남쪽으로 \(90° - h\)만큼 기울이면 법선이 태양을 똑바로 향해 넓이 전부로 햇빛을 받는다.

그림 2. 춘분날 정오 태양 고도 52.5°에서, 패널을 위도와 같은 37.5° 기울이면 햇빛을 정면으로 받는다.

2.4.3예제 풀이

예제 2.4.2

처음 질문의 패널을 눕혔을 때와 남쪽으로 37.5° 기울였을 때 햇빛을 받는 넓이를 구하여라. 하짓날 정오의 태양 고도는 76°이다. 37.5°로 기울인 패널은 하짓날 정오에 햇빛을 얼마의 넓이로 받는가?

눕힌 패널의 법선은 햇빛과 \(90° - 52.5° = 37.5°\)를 이루므로, 받는 넓이는 \(2\cos37.5° \approx 2\times0.793 \approx 1.59\) m²이다. 37.5° 기울이면 법선이 태양 쪽으로 37.5° 기울어 햇빛과 나란해지므로 받는 넓이는 2 m² 전부이다. 그래서 같은 패널로 약 26% 더 많은 햇빛을 받는다.

하짓날 정오에는 37.5° 기울인 패널의 법선이 지평선에서 52.5° 높이를 향하므로, 고도 76°인 햇빛과 이루는 각은 \(76° - 52.5° = 23.5°\)이다. 받는 넓이는 \(2\cos23.5° \approx 2\times0.917 \approx 1.83\) m²이다. 그래서 위도만큼 기울인 패널은 춘분과 추분에 가장 좋고, 여름에도 넓이의 90% 넘게 햇빛을 받는다. 즉 기울어진 도형의 정사영 넓이는 원래 넓이에 두 평면이 이루는 각의 코사인을 곱한 것이어서, 햇빛을 받는 양을 계산하고 패널의 기울기를 정하는 데 쓸 수 있다.

아래 탐구 카드에서 원판을 기울이며 그림자의 넓이가 어떻게 줄어드는지 확인하고, 태양 고도에 따라 패널의 가장 좋은 기울기를 찾아보자.

지구의 계절이 생기는 것도 같은 원리이다. 여름에는 태양 고도가 높아 같은 넓이의 땅이 햇빛을 더 정면으로 받고, 겨울에는 같은 햇빛이 비스듬히 넓게 퍼져 땅 1 m²마다 받는 에너지가 줄어든다.

마무리

평면 \(\alpha\)가 평면 \(\beta\)와 각 \(\theta\)를 이루면 \(\alpha\) 위의 도형을 \(\beta\)에 정사영할 때 교선에 수직인 방향만 \(\cos\theta\)배로 줄어, 넓이는 \(S' = S\cos\theta\)가 된다. 나란한 햇빛을 받는 넓이는 햇빛에 수직인 평면으로의 정사영 넓이이므로, 패널의 법선이 태양을 향할수록 커진다. 처음 질문의 패널은 춘분날 정오에 눕히면 약 1.59 m², 위도와 같은 37.5° 기울이면 2 m² 전부로 햇빛을 받는다.

탐구 1

동전을 기울이면 그림자의 넓이는 얼마나 줄어들까?

정사영의 넓이 · 조작

기울인 각 \(\theta\) = 50°

도형의 넓이 \(S\): —
그림자의 넓이 \(S'\): —
\(S' \div S\)와 \(\cos\theta\): —

빛은 바로 위에서 수직으로 비춘다. 도형은 x축을 따라 놓인 회전축(빨간 선) 둘레로 기울어진다. 그림을 끌면 돌아간다.

질문한낮에 동전을 손끝에 세워 기울이면 바닥의 그림자가 둥근 모양에서 길쭉한 모양으로 바뀌다가 결국 선이 된다. 그림자의 넓이는 기울인 각과 어떤 관계가 있을까?
복원점 P에서 평면에 내린 수선의 발이 P의 정사영이고, 도형 위의 모든 점의 정사영을 모은 것이 도형의 정사영이다. 평면에 대한 선분의 정사영의 길이는 \(l\cos\theta\)이다.
설명도형을 회전축 둘레로 \(\theta\)만큼 기울이면, 회전축과 나란한 방향의 길이는 그대로이고, 회전축에 수직인 방향의 길이만 \(\cos\theta\)배가 된다. 넓이는 한 방향으로만 \(\cos\theta\)배 줄어든 것이므로 \(S' = S\cos\theta\)이다. 그래서 원판의 그림자는 장축이 그대로이고 단축만 \(\cos\theta\)배인 타원이 되고, 그 넓이는 \(\pi r^2\cos\theta\)이다. 이 관계는 도형의 모양과 상관없이 성립한다.
연결거꾸로 그림자의 넓이와 도형의 넓이를 알면 두 평면이 이루는 각을 구할 수 있다. \(\cos\theta = \frac{S'}{S}\). 다음 카드는 이 관계로 태양광 패널이 받는 햇빛의 양을 계산한다.
적용\(\theta\)를 0°부터 90°까지 움직이며 그림자의 넓이 비가 늘 \(\cos\theta\)와 같은지 보자. 원판, 삼각형, 정사각형을 바꾸어도 같은가? \(\theta = 60^\circ\)이면 그림자는 원래 넓이의 몇 분의 몇인가?
판단\(S' = S\cos\theta\)는 빛이 그림자가 생기는 평면에 수직으로 비출 때의 관계이다. 해가 비스듬히 비추는 저녁의 그림자는 정사영이 아니라 비스듬한 투영이라 더 길어지고, 이 식이 성립하지 않는다.

확인조건이 달라지면

넓이가 12인 삼각형을 평면 \(\alpha\)에 정사영했더니 넓이가 6이 되었다. 삼각형이 있는 평면과 \(\alpha\)가 이루는 각은?

탐구 2

태양광 패널은 몇 도로 세워야 햇빛을 가장 많이 받을까?

정사영의 넓이 · 활용

태양의 고도 \(\alpha\) = 52.5°

패널 기울기 \(\beta\) = 0°

받는 빛 (수직일 때 = 100 %): —
패널 법선과 햇빛 사이의 각: —
가장 좋은 기울기: —

서울(북위 약 37.5°)의 정오 태양 고도는 \(90^\circ - 37.5^\circ \pm 23.4^\circ\)로 계산한 값이다. 패널은 남쪽을 향한다고 본다. 구름, 대기, 하루 동안의 태양 이동은 생각하지 않는다.

질문지붕에 태양광 패널을 눕혀 두는 집도 있고, 비스듬히 세워 두는 집도 있다. 같은 패널이라도 기울기에 따라 받는 햇빛이 다를까? 계절마다 가장 좋은 기울기가 다를까?
복원넓이 \(S\)인 평면도형을 다른 평면에 정사영하면 넓이는 \(S\cos\theta\)이다(\(\theta\)는 두 평면이 이루는 각).
설명패널이 받는 빛의 양은 "햇빛에 수직인 평면으로 패널을 정사영한 넓이"에 비례한다. 햇빛을 마주 보는 단면이 바로 패널이 가로막는 빛줄기의 단면이기 때문이다. 패널의 법선과 햇빛이 이루는 각을 \(\gamma\)라고 하면 패널 평면과 햇빛에 수직인 평면이 이루는 각도 \(\gamma\)이므로, 받는 빛은 \(S\cos\gamma\)에 비례한다. 남쪽을 향해 \(\beta\)만큼 기울인 패널에서는 \(\gamma = 90^\circ - \alpha - \beta\)이므로 받는 빛의 비율은 \(\sin(\alpha + \beta)\)이고, \(\beta = 90^\circ - \alpha\)일 때(햇빛이 수직으로 꽂힐 때) 가장 크다.
연결같은 원리로 겨울이 여름보다 추운 이유 하나를 설명할 수 있다. 태양 고도가 낮으면 같은 빛줄기가 더 넓은 땅에 퍼져, 단위 넓이가 받는 에너지가 \(\sin\alpha\)배로 줄어든다.
적용세 계절의 정오 태양 고도를 차례로 누르고, 패널 기울기를 움직여 받는 빛이 가장 큰 기울기를 찾자. 계절마다 답이 어떻게 바뀌는가? 패널을 고정한다면 한 해 내내 무난한 기울기는 대략 몇 도일까?
판단이 계산은 정오 한 순간의 햇빛만 본다. 실제 발전량은 하루 동안 태양의 방향이 바뀌고, 대기를 지나는 거리, 구름, 패널 온도에 따라서도 달라진다. 실제로 고정형 패널은 보통 그 지역의 위도와 비슷한 각으로 기울여 설치한다고 알려져 있다.

확인조건이 달라지면

태양의 고도가 \(30^\circ\)일 때 바닥에 눕혀 둔 패널(\(\beta = 0^\circ\))이 받는 빛은, 햇빛에 수직으로 세운 패널이 받는 빛의 몇 배일까?