다항함수의 부정적분
본문\(x^3\)을 미분하면 \(3x^2\)이다. 그러면 \(x^2\)을 적분한 결과는 \(x^3\)일까? 미분하면 3이 앞에 나오니, 적분할 때는 그 3을 어떻게 처리해야 할까? 그리고 \(6x^2 - 4x + 5\)처럼 여러 항이 있으면 항마다 따로 적분해도 될까?
3.2.1\(x^n\)의 부정적분
\(x^2\)의 부정적분을 찾으려면 '미분하면 \(x^2\)이 되는 함수'를 찾아야 한다. 지수가 하나 줄어드는 것이 미분이므로, 원래 함수는 \(x^3\)의 꼴일 것이다. 그런데 \((x^3)' = 3x^2\)이라 3이 남는다. 그래서 미리 3으로 나눈 \(\dfrac{x^3}{3}\)을 미분하면 정확히 \(x^2\)이다.
같은 생각으로 \(\left(\dfrac{x^{n+1}}{n + 1}\right)' = \dfrac{(n + 1)x^n}{n + 1} = x^n\)이다. 그림 1에서 \(n\)을 바꾸어 보면, 미분으로 내려오는 수 \(n + 1\)을 적분에서 미리 나누어 둔다는 것이 보인다.
\(n\)이 0 또는 자연수일 때 \[\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n + 1} + C\] 특히 \(\int 1\,dx = x + C\), \(\int k\,dx = kx + C\)(\(k\)는 상수)이다.
3.2.2합, 차, 상수배는 항마다
미분에서 합, 차, 상수배는 항마다 따로 계산할 수 있었다. 적분은 미분의 반대이므로 같은 성질이 그대로 성립한다. \(F' = f\), \(G' = g\)이면 \((F + G)' = f + g\)이므로 \(f + g\)의 부정적분은 \(F + G\)에 상수를 더한 것이다.
\[\int kf(x)\,dx = k\int f(x)\,dx\ (k \ne 0),\quad \int \{f(x) \pm g(x)\}\,dx = \int f(x)\,dx \pm \int g(x)\,dx\]
그러나 곱은 그렇지 않다. \(\int x \cdot x\,dx = \dfrac{x^3}{3} + C\)인데, 따로 적분한 \(\dfrac{x^2}{2} \times \dfrac{x^2}{2}\)는 \(\dfrac{x^4}{4}\)로 다르다. 곱으로 된 식은 먼저 전개해서 항의 합으로 바꾼 뒤 적분한다.1
3.2.3예제 풀이
\(\displaystyle\int (6x^2 - 4x + 5)\,dx\)와 \(\displaystyle\int (x + 1)(3x - 1)\,dx\)를 구하여라. 또 \(f'(x) = 6x^2 - 4x + 5\)이고 \(f(0) = 1\)일 때 \(f(2)\)를 구하여라.
항마다 적분하면 \(\displaystyle\int (6x^2 - 4x + 5)\,dx = 2x^3 - 2x^2 + 5x + C\)이다. 미분하면 \(6x^2 - 4x + 5\)가 나오므로 맞는다.
두 번째 식은 먼저 전개한다. \((x + 1)(3x - 1) = 3x^2 + 2x - 1\)이므로 적분하면 \(x^3 + x^2 - x + C\)이다.
마지막 질문은 \(f(x) = 2x^3 - 2x^2 + 5x + C\)에서 \(f(0) = C = 1\)이므로 \(f(x) = 2x^3 - 2x^2 + 5x + 1\)이다. 따라서 \(f(2) = 16 - 8 + 10 + 1 = 19\)이다. 아래 탐구 카드에서 지수를 올리고 나누는 규칙을 직접 따라가 보자.
- \(n = -1\)일 때, 곧 \(\int \tfrac{1}{x}\,dx\)는 이 공식으로 구할 수 없다(분모가 0이 된다). 이 적분은 미적분Ⅱ에서 자연로그로 다룬다.
\(x^n\)을 미분하면 지수 \(n\)이 앞으로 내려오므로, 적분할 때는 지수를 하나 올리고 그 수로 나누어 \(\int x^n\,dx = \tfrac{x^{n+1}}{n + 1} + C\)이다. 다항식은 항마다 적분해 더하고, 곱은 전개한 뒤 적분한다. 그래서 처음 질문의 \(x^2\)의 부정적분은 \(x^3\)이 아니라 \(\tfrac{x^3}{3} + C\)이다.