테일러급수의 활용

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길이 1 m인 진자를 작게 흔들면 주기는 \(2\pi\sqrt{L/g} \approx 2.007\)초이다. 그런데 진폭을 크게 하면 주기가 조금씩 길어져, 60°로 흔들면 약 7% 길어진다. 주기 공식은 \(\sin\theta \approx \theta\)라는 어림에서 나왔다고 한다. 이 어림은 각이 얼마일 때까지 믿을 수 있을까? 또 계산기는 \(\sin1000°\) 같은 값을 다항식으로 어떻게 계산할까? 테일러급수의 첫 몇 항이 물리 공식과 계산기 속에서 어떻게 쓰이는지 알아보자.

그림 1. 진폭이 커지면 주기가 길어지며, 그 정도는 \(\theta_0^2/16\)으로 잘 어림된다.

먼저 알아야 할 것삼각함수의 정의와 그래프, 일반각과 호도법, 테일러다항식과 나머지(테일러다항식과 테일러급수).

3.7.1첫 항만 남기는 어림

테일러급수의 첫 몇 항만 남기면 복잡한 함수를 다루기 쉬운 다항식으로 바꿀 수 있다. 진자의 운동 방정식은 \(\theta'' = -\dfrac gL\sin\theta\)인데, \(\sin\theta = \theta - \dfrac{\theta^3}{6} + \cdots\)의 첫 항만 남기면 \(\theta'' = -\dfrac gL\theta\)가 되어 단진동이 된다. 그래서 주기 공식 \(2\pi\sqrt{L/g}\)는 \(\theta^3/6\)을 무시할 수 있을 때 성립한다. 버린 항이 남긴 항보다 얼마나 작은지, 곧 \(\theta^2/6\)이 얼마인지가 어림의 정확도를 알려 준다.

정리 3.7.1 자주 쓰는 어림

\(|x|\)가 작을 때 \(\sin x \approx x\), \(\cos x \approx 1 - \dfrac{x^2}{2}\), \(e^x \approx 1 + x\), \((1 + x)^a \approx 1 + ax + \dfrac{a(a-1)}{2}x^2\)이다. 다음 항이 오차의 크기를 알려 주며, 교대급수이면 오차는 다음 항보다 작다.

상대성 이론의 운동 에너지 \(E_k = mc^2\left(\dfrac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} - 1\right)\)에 \((1 + x)^{-1/2}\)의 어림을 쓰면 \(E_k \approx \tfrac12mv^2 + \tfrac38m\dfrac{v^4}{c^2}\)이다. 첫 항이 뉴턴 역학의 운동 에너지이고, 둘째 항은 \(v/c\)가 작으면 무시할 만하다. 그래서 일상의 속도에서는 뉴턴 역학이 상대성 이론의 테일러 어림이라고 볼 수 있다. 이렇게 테일러급수는 어떤 공식이 다른 공식의 근사인지, 언제까지 믿을 수 있는지를 보여 준다.¹

3.7.2계산기 속의 다항식

계산기는 \(\sin\)을 계산할 때 테일러다항식을 쓰되, \(x\)를 작게 만든 뒤에 쓴다. \(x\)가 클수록 항이 늦게 줄어 많은 항이 필요하기 때문이다. 먼저 주기성으로 각을 \(0°\)에서 \(360°\) 사이로 줄이고, 대칭성으로 다시 \(0°\)에서 \(45°\) 사이의 사인이나 코사인으로 바꾼다. 그러면 \(x\)가 \(\pi/4 \approx 0.785\) 이하가 되어 몇 항만으로 계산기의 자릿수만큼 정확한 값을 얻는다.

그림 2. 큰 각을 작은 각으로 바꾸어야 테일러다항식이 몇 항만으로 정확해진다.

3.7.3예제 풀이

예제 3.7.2

그림 2의 방법으로 \(\sin1000°\)를 소수 다섯째 자리까지 구하여라. 길이 1 m인 진자를 20°로 흔들 때의 주기를 \(1 + \theta_0^2/16\)의 보정으로 구하여라. \(g = 9.8\) m/s²이다.

\(x = 10° = \pi/18 \approx 0.174533\)이므로 \(x^2 \approx 0.0304617\), \(x^4 \approx 0.000928\)이다. \(\cos10° \approx 1 - 0.0152309 + 0.0000387 = 0.9848078\)이고, 다음 항 \(x^6/720 \approx 4\times10^{-8}\)이 오차의 상한이다. 그래서 \(\sin1000° \approx -0.98481\)이다.

진자의 기본 주기는 \(2\pi\sqrt{1/9.8} \approx 2.007\)초이다. 20°는 \(0.349\) rad이므로 보정은 \(0.349^2/16 \approx 0.0076\)이고, 주기는 \(2.007\times1.0076 \approx 2.022\)초이다. 0.015초 차이여서 1분 동안 재면 0.45초쯤 어긋난다. 그래서 진자시계는 진폭을 아주 작게 유지한다. 즉 테일러급수의 첫 항은 물리 공식의 근사가 되고, 다음 항은 그 근사가 언제까지 믿을 만한지 알려 주며, 계산기는 큰 값을 작은 값으로 바꾼 뒤 몇 항만으로 함수값을 계산한다.

아래 탐구 카드에서 계산기처럼 \(\sin1000°\)를 다항식으로 계산해 보고, 진자의 진폭과 운동 에너지 공식에서 테일러 어림이 언제까지 맞는지 확인해 보자.

진폭에 따라 진자의 주기가 바뀐다는 것을 안 하위헌스는 1673년, 추가 원 대신 사이클로이드를 따라 움직이게 해 진폭과 상관없이 주기가 같은 진자시계를 만들었다. 실제로는 마찰이 커서 널리 쓰이지 못했다.

마무리

테일러급수의 첫 몇 항만 남기면 \(\sin x \approx x\)처럼 복잡한 함수가 다루기 쉬운 다항식이 되고, 버린 다음 항이 그 어림의 오차를 알려 준다. 이런 어림으로 진자의 주기 공식과 뉴턴의 운동 에너지가 나오고, 계산기는 각을 작게 바꾼 뒤 몇 항만으로 삼각함수를 계산한다. 처음 질문의 주기 공식은 20°까지 오차가 1%보다 작고, \(\sin1000°\)는 \(-\cos10° \approx -0.98481\)이다.

탐구 1

계산기는 \(\sin 1000^\circ\)를 어떻게 계산할까?

테일러급수의 활용 · 활용

각 = 1000°

테일러 항 수 = 4

참값: —
옮겨서 계산한 오차: —
옮기지 않은 오차: —

질문\(\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots\)은 모든 \(x\)에서 성립한다. 그러면 \(\sin 1000^\circ\)도 \(x = \frac{1000\pi}{180} \approx 17.45\)를 넣어 몇 항만 더하면 될까?
복원\(\sin(\theta + 360^\circ) = \sin\theta\), \(\sin(180^\circ + \theta) = -\sin\theta\), \(\sin(180^\circ - \theta) = \sin\theta\), \(\sin(90^\circ - \theta) = \cos\theta\). 테일러다항식의 오차는 대략 빠진 첫 항 \(\frac{|x|^{n+1}}{(n + 1)!}\) 크기이다.
설명\(x = 17.45\)이면 \(\frac{x^{n}}{n!}\)이 \(n = 17\) 근처까지 커져 수백만에 이른다. 몇 항만 더하면 터무니없는 값이 나오고, 많이 더해도 큰 수끼리 빼면서 반올림 오차가 커진다. 그래서 먼저 각을 줄인다. 360°의 배수를 빼고, 대칭으로 0°~90°로 옮기고, 45°보다 크면 \(\cos(90^\circ - \theta)\)로 바꾼다. 그러면 \(|x| \le \frac{\pi}{4} \approx 0.785\)라서 테일러급수 4~5항이면 소수 여덟아홉째 자리까지 맞다.
연결테일러급수의 오차 \(\frac{|x|^{n+1}}{(n + 1)!}\)는 \(|x|\)가 작을수록 빨리 줄어든다. 원주율 계산에서 \(\tan^{-1}\frac{1}{5}\)을 쓴 것과 같은 생각이다. "중심 가까이로 옮긴 다음 급수를 쓴다"가 수치 계산의 기본 전략이다.
적용각을 바꾸며 줄인 각과 계산 과정을 보자. 항 수를 1부터 늘리며 두 오차를 비교해 보자. 옮기지 않은 계산은 몇 항이 되어야 쓸 만해지는가? 옮긴 계산은 몇 항이면 오차가 \(10^{-8}\)보다 작아지는가?
판단실제 계산기와 컴퓨터는 테일러다항식을 그대로 쓰기보다, 구간 전체에서 오차가 고르게 작도록 계수를 조정한 다항식이나 CORDIC 같은 다른 방법을 쓴다. 각을 줄이는 단계는 어느 방법에서나 공통이다.

확인조건이 달라지면

\(\sin 600^\circ\)를 계산할 때 0°와 90° 사이의 각으로 바꾸면?

탐구 2

진자의 주기 공식 \(2\pi\sqrt{L/g}\)는 언제까지 믿을 수 있을까?

\(\sin\theta \approx \theta\) · 시뮬레이션 · 활용

처음 각(진폭) = 30°

근사 주기 \(2\pi\sqrt{L/g}\): —
실제 주기: —
10번 흔들린 뒤 어긋남: —

\(L = 1\ \mathrm{m}\), \(g = 9.8\ \mathrm{m/s^2}\), 공기 저항과 줄의 무게는 무시한다. 실제 운동은 \(\theta'' = -\frac{g}{L}\sin\theta\)를 수치로 풀고, 실제 주기는 산술기하평균을 이용한 정확한 공식으로 구한다.

질문진자의 주기는 진폭과 상관없이 \(T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}\)이라고 배운다(진자의 등시성). 그네를 아주 높이 밀어도 주기가 같을까?
복원\(\sin\theta = \theta - \frac{\theta^3}{3!} + \cdots\)이므로 \(\theta\)가 작으면 \(\sin\theta \approx \theta\)이고, 오차는 대략 \(\frac{\theta^3}{6}\)이다. \(y'' = -\omega^2y\)의 해는 주기 \(\frac{2\pi}{\omega}\)인 사인 곡선이다.
설명진자의 운동 방정식은 \(\theta'' = -\frac{g}{L}\sin\theta\)로, 그대로는 풀기 어렵다. 테일러급수의 첫 항만 남겨 \(\sin\theta \approx \theta\)로 바꾸면 \(\theta'' = -\frac{g}{L}\theta\)가 되어, 주기 \(2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}\)인 단진동이 된다. 이것이 등시성의 정체이다. 실제 주기는 진폭 \(\theta_0\)에 따라 길어지며, 테일러급수의 다음 항까지 쓰면 \(T \approx 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}\left(1 + \frac{\theta_0^2}{16}\right)\)이다.
연결진폭 \(10^\circ\)에서 실제 주기는 근사 주기보다 약 0.2 % 길고, \(60^\circ\)에서 약 7 %, \(90^\circ\)에서 약 18 % 길다. 진자 시계가 진폭을 작게 유지하는 까닭이다. 물리 공식 가운데 \(\sin\theta \approx \theta\), \(\sqrt{1 + x} \approx 1 + \frac{x}{2}\)처럼 테일러급수의 앞 항만 남긴 근사가 많다.
적용진폭을 바꾸며 흔들어 보자. 아래 그래프에서 두 진자가 몇 번 흔들린 뒤 눈에 띄게 어긋나는가? 근사 주기와 실제 주기의 차이가 1 %를 넘는 진폭은 대략 몇 도인가?
판단근사가 "괜찮은지"는 얼마나 정확해야 하느냐에 달려 있다. 진폭 \(30^\circ\)에서 주기 오차는 약 1.7 %로 한 번 흔들릴 때는 작지만, 하루 동안 흔들리면 진자 시계로는 쓸 수 없을 만큼 쌓인다. 근사식을 쓸 때는 오차의 크기를 함께 따져야 한다.

확인조건이 달라지면

\(\sin\theta \approx \theta\)를 쓸 때 \(\theta = 0.2\)(약 \(11.5^\circ\))에서 상대 오차는 대략?

탐구 3

운동 에너지 \(\frac{1}{2}mv^2\)은 상대성 이론의 어떤 근사일까?

이항급수 · 테일러급수의 활용

\(\beta = \frac{v}{c}\) = 0.3

상대론 \((\gamma - 1)mc^2\): —
\(\frac{1}{2}mv^2\)의 오차: —
\(+\frac{3}{8}\frac{mv^4}{c^2}\)까지의 오차: —

에너지는 \(mc^2\)을 1로 둔 값이다. 오차는 상대론의 값에 대한 비율이다.

질문특수 상대성 이론에서 물체의 운동 에너지는 \(K = (\gamma - 1)mc^2\), \(\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}\)이다. 이 식에는 \(\frac{1}{2}mv^2\)이 보이지 않는다. 그런데도 일상에서는 왜 \(\frac{1}{2}mv^2\)이 잘 맞을까?
복원\(f(x) = (1 + x)^{\alpha}\)의 테일러급수(이항급수)는 \(1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha - 1)}{2!}x^2 + \cdots\ (|x| < 1)\)이다.
설명\(\alpha = -\frac{1}{2}\), \(x = -\beta^2\)\((\beta = \frac{v}{c})\)을 넣으면 \[\gamma = (1 - \beta^2)^{-1/2} = 1 + \frac{1}{2}\beta^2 + \frac{3}{8}\beta^4 + \cdots\]이므로 \[K = (\gamma - 1)mc^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{3}{8}\frac{mv^4}{c^2} + \cdots\]이다. 뉴턴의 운동 에너지는 이 급수의 첫 항이다. 둘째 항은 첫 항의 \(\frac{3}{4}\beta^2\)배이므로, 빛보다 훨씬 느린 일상에서는 무시할 만큼 작다.
연결\(\beta = 0.1\)(초속 3만 km)에서도 \(\frac{1}{2}mv^2\)의 오차는 약 0.75 %이다. 입자 가속기의 전자처럼 \(\beta\)가 1에 가까우면 급수의 뒤 항들이 커져 뉴턴의 식은 전혀 맞지 않다. 새 이론이 옛 이론을 근사로 포함하는 모습을 테일러급수가 보여 준다.
적용\(\beta\)를 키우며 세 곡선이 언제 갈라지는지 보자. \(\frac{1}{2}mv^2\)의 오차가 1 %를 넘는 \(\beta\)는 대략 얼마인가? 둘째 항까지 넣으면 같은 정확도를 얼마나 더 빠른 속력까지 유지하는가?
판단이항급수는 \(|x| < 1\), 곧 \(\beta < 1\)에서만 수렴한다. \(\beta\)가 1에 가까우면 수렴은 하지만 아주 많은 항이 필요하므로, 이때는 근사 대신 원래 식 \((\gamma - 1)mc^2\)을 써야 한다.

확인조건이 달라지면

\(\sqrt{1 + x} \approx 1 + \frac{x}{2}\)을 써서 \(\sqrt{1.02}\)를 어림하면?