구면코사인법칙과 구면사인법칙

서울은 북위 37.57°, 동경 126.98°이고, 뉴욕은 북위 40.71°, 서경 74.01°이다. 두 도시 사이의 비행 거리를 구하려면 지구 표면을 따라 가장 짧은 대원의 길이를 알아야 한다. 북극점, 서울, 뉴욕을 꼭짓점으로 하는 구면삼각형을 생각하면 두 변과 그 사잇각을 위도와 경도에서 바로 읽을 수 있다. 평면 삼각형에서 두 변과 사잇각으로 나머지 변을 구하는 코사인법칙이 있듯, 구면삼각형에도 그런 법칙이 있을까?

3.4.1내적으로 얻는 구면코사인법칙

반지름 1인 구 위의 점을 중심에서 그은 단위벡터로 나타내면, 두 점 사이의 대원 거리 \(c\)(중심각)는 두 벡터의 내적으로 \(\cos c = \vec u\cdot\vec v\)이다. 북극점을 \((0, 0, 1)\)로 두고, 북극점에서 각 \(a\), \(b\)만큼 떨어진 두 점을 경도 차 \(C\)만큼 벌려 놓으면 두 점의 벡터는 \((\sin a, 0, \cos a)\)와 \((\sin b\cos C, \sin b\sin C, \cos b)\)이다. 둘의 내적을 계산하면 구면코사인법칙이 바로 나온다.

변 \(a\), \(b\)가 아주 작으면 \(\cos a \approx 1 - a^2/2\), \(\sin a \approx a\)이므로 구면코사인법칙은 \(c^2 \approx a^2 + b^2 - 2ab\cos C\)가 되어 평면의 코사인법칙으로 돌아간다. 작은 구면삼각형이 거의 평면인 것과 같은 이야기이다. 두 도시의 거리 공식은 \(a = 90° - \varphi_1\), \(b = 90° - \varphi_2\)를 넣어 \(\cos a = \sin\varphi_1\), \(\sin a = \cos\varphi_1\)로 바꾼 것이다.¹

3.4.2출발 방향 구하기

구면사인법칙은 비행기가 출발할 때 어느 방향으로 떠야 하는지 알려 준다. 서울에서 뉴욕으로 가는 대원이 서울을 지나는 자오선과 이루는 각 \(A\)는 \(\dfrac{\sin A}{\sin b} = \dfrac{\sin C}{\sin c}\)에서 구한다. 이 각은 정동쪽이 아니라 북동쪽이어서, 비행기는 처음에 캄차카와 알래스카 쪽으로 올라간다. 평면 지도에서는 이 길이 크게 휘어 보이지만, 실제로는 가장 짧은 길이다.

3.4.3예제 풀이

그림 2처럼 \(\cos d \approx 0.3977 - 0.5608 = -0.1631\)이므로 \(d \approx 99.39°\)이고, 라디안으로 \(99.39\times\pi/180 \approx 1.7347\)이다. 거리는 \(6371\times1.7347 \approx 11050\) km이다. 실제 서울과 뉴욕 사이의 비행 거리와 거의 같다.

위도 40°에서 경도로 180° 떨어진 두 곳은 위선을 따라가면 반지름 \(R\cos40°\)인 원의 절반이므로 \(\pi R\cos40° \approx 3.1416\times6371\times0.766 \approx 15330\) km이다. 대원은 북극점을 지나 \(2\times(90° - 40°) = 100°\)이므로 \(6371\times100\pi/180 \approx 11120\) km이다. 그래서 북극점을 지나는 대원이 약 4200 km 짧다. 즉 구면코사인법칙은 구면삼각형의 두 변과 사잇각으로 나머지 변을 구하게 해 주어, 위도와 경도만으로 두 곳 사이의 대원 거리를 계산할 수 있다.

아래 탐구 카드에서 구면삼각형에서도 코사인법칙이 성립하는지 확인하고, 여러 도시의 위도와 경도로 비행 거리를 계산해 보자.

1. 구면삼각법은 별의 위치를 계산하던 천문학에서 먼저 발달했다. 10세기 이슬람의 천문학자들은 구면사인법칙을 써서 어느 도시에서든 메카의 방향을 계산했고, 대항해 시대의 항해사들은 같은 공식으로 배의 위치와 항로를 정했다.