이차함수의 최대·최소

\(y = x^2 - 4x + 1\)은 꼭짓점 \(x = 2\)에서 가장 작은 값 \(-3\)을 갖는다. 그런데 \(x\)가 \(3 \le x \le 5\)처럼 꼭짓점을 비켜 간 범위에서만 움직인다면, 가장 작은 값과 가장 큰 값은 어디서 나올까?

범위의 왼쪽 끝 \(p\) =

2.6.1범위가 없을 때의 최대·최소

\(y = x^2 - 4x + 1\)을 완전제곱식으로 바꾸면 \(y = (x - 2)^2 - 3\)이다. 제곱 \((x - 2)^2\)은 0 이상이므로 \(y\)는 \(-3\) 이상이고, \(x = 2\)일 때 정확히 \(-3\)이 된다. 따라서 최솟값은 \(-3\)이다. 그런데 \(x\)가 2에서 멀어질수록 \(y\)는 한없이 커지므로 최댓값은 없다.

함수가 가질 수 있는 값 가운데 가장 큰 값을 최댓값, 가장 작은 값을 최솟값이라 한다. \(x\)의 범위에 제한이 없으면 \(y = a(x - p)^2 + q\)는 \(a > 0\)일 때 최솟값 \(q\)만, \(a < 0\)일 때 최댓값 \(q\)만 갖는다. 꼭짓점이 그래프의 맨 아래나 맨 위이기 때문이다.

2.6.2범위가 정해지면 끝점이 후보가 된다

이제 \(x\)를 \(3 \le x \le 5\)로 제한하자. 그림 1에서 \(p = 3\)에 두면 이 범위의 그래프는 꼭짓점의 오른쪽 부분이라 계속 올라가기만 한다. 그러면 가장 낮은 점은 왼쪽 끝 \(x = 3\)이고, 가장 높은 점은 오른쪽 끝 \(x = 5\)이다. 값을 계산하면 \(x = 3\)일 때 \(y = -2\), \(x = 5\)일 때 \(y = 6\)이므로 최솟값은 \(-2\), 최댓값은 6이다.

슬라이더로 \(p\)를 1로 옮겨 범위를 \(1 \le x \le 3\)으로 바꾸면 사정이 달라진다. 꼭짓점 \(x = 2\)가 범위 안에 들어오므로 최솟값은 꼭짓점의 \(-3\)이다. 최댓값은 두 끝 \(x = 1\)과 \(x = 3\)에서의 값 가운데 큰 것인데, 둘 다 \(-2\)로 같다. 두 끝이 축 \(x = 2\)에서 같은 거리에 있기 때문이다.

정리가 후보를 세 개로 줄여 주는 까닭은 그래프의 모양에 있다. 포물선은 축의 한쪽에서는 계속 내려가거나 계속 올라가기만 한다. 그래서 범위 안에서 방향이 바뀔 수 있는 곳은 꼭짓점뿐이고, 나머지 가장 높거나 낮은 점은 범위가 끊기는 끝에서 생긴다.

2.6.3예제 풀이

담장에 수직인 두 변이 각각 \(x\)이므로 담장과 평행한 변은 \(40 - 2x\)이다. 변의 길이는 양수여야 하므로 \(0 < x < 20\)이다. 넓이는 \(S = x(40 - 2x) = -2x^2 + 40x\)이고, 완전제곱식으로 바꾸면 \(S = -2(x - 10)^2 + 200\)이다.

\(a = -2 < 0\)이므로 그래프는 위로 볼록하고, 꼭짓점 \(x = 10\)이 범위 \(0 < x < 20\) 안에 있다. 따라서 \(x = 10\)일 때 넓이가 최대 \(200\ \text{m}^2\)이고, 이때 밭은 \(10 \times 20\)이다.

그런데 담장이 16 m뿐이면 \(40 - 2x \le 16\), 곧 \(x \ge 12\)라는 조건이 붙는다. 범위는 \(12 \le x < 20\)이 되어 꼭짓점 \(x = 10\)이 범위의 왼쪽 밖으로 나간다. 이 범위에서 그래프는 내려가기만 하므로 최댓값은 왼쪽 끝 \(x = 12\)에서 나온다. 따라서 \(S = 12 \times 16 = 192\ \text{m}^2\)이 최대이다.¹ 같은 식이라도 범위가 바뀌자 답이 꼭짓점에서 끝점으로 옮겨 갔다. 아래 탐구 카드에서 범위를 옮기며 최댓값과 최솟값이 어디로 이동하는지 직접 확인해 보자.

1. 범위가 \(12 \le x < 20\)처럼 한쪽 끝을 포함하지 않으면, 그쪽에서는 값이 한없이 가까워지기만 하고 도달하지 않는다. 그래서 이 예제에서 최솟값은 없다.