종이 접기와 지수

두께 0.1 mm인 종이를 반으로 접으면 두께가 0.2 mm, 한 번 더 접으면 0.4 mm가 된다. 접을 때마다 두께가 두 배가 되니, 10번 접으면 손바닥 두께쯤일 것 같다. 그런데 이렇게 계속 접을 수 있다면 42번 만에 지구에서 달까지의 거리 38만 km를 넘는다고 한다. 정말 그럴까? 그리고 실제로는 왜 종이를 일곱 번이나 여덟 번 넘게 접기 어려울까?

1.4.1두 배씩 커지는 수

처음 두께를 \(t\)라 하면 \(n\)번 접은 두께는 \(t\times2^n\)이다. 더하기로 늘어나는 수는 한 번에 같은 양만큼 커지지만, 곱하기로 늘어나는 수는 한 번에 커지는 양 자체가 계속 커진다. 그래서 처음 몇 번은 보잘것없다가 어느 순간 상상을 넘어선다. \(2^{10} = 1024\)이 천과 거의 같다는 사실을 기억하면 어림하기 쉽다. 10번에 천 배, 20번에 백만 배, 30번에 십억 배, 40번에 조 배이다.

달까지의 거리는 \(3.84\times10^{8}\) m이고 처음 두께는 \(10^{-4}\) m이므로, 필요한 배수는 \(3.84\times10^{12}\)이다. 그래서 \(n \ge \log_2(3.84\times10^{12}) \approx 3.32\times12.58 \approx 41.8\)이고, 42번이면 넘는다. 거리의 배수가 4조 배나 되어도 접는 횟수는 42번뿐인 것은, 로그가 아주 큰 수를 작은 수로 줄여 주기 때문이다.¹

1.4.2실제로 접기 어려운 까닭

종이를 접으면 두께만 두 배가 되는 것이 아니라 넓이가 절반이 된다. 7번 접으면 넓이는 \(1/128\)로 줄고 두께는 128배가 되어, 작은 덩어리를 더 접을 힘이 없다. 게다가 접힌 부분은 바깥 겹이 안쪽 겹을 감싸며 둥글게 휘어야 하므로, 접을 때마다 종이 길이의 일부가 접힌 곳에서 사라진다. 한 방향으로만 \(n\)번 접으려면 필요한 종이 길이가 \(\dfrac{\pi t}{6}(2^n + 4)(2^n - 1)\)로, 두께보다도 훨씬 빨리 \(4^n\)에 가깝게 늘어난다.

1.4.3예제 풀이

필요한 배수는 \(8849/0.0001 = 8.849\times10^7\)이고, \(\log_2(8.849\times10^7) \approx 3.32\times7.95 \approx 26.4\)이다. 그래서 27번 접으면 \(0.0001\times2^{27} \approx 13400\) m로 에베레스트산을 넘는다. 26번이면 약 6700 m여서 아직 모자란다.

42번 접으면 두께는 \(0.0001\times2^{42} \approx 0.0001\times4.40\times10^{12} = 4.40\times10^8\) m, 곧 약 44만 km이다. 달까지의 거리 38.4만 km의 약 1.15배이다. 그러나 이렇게 접으려면 필요한 종이 길이가 태양계를 몇 번 가로지를 만큼이어서 실제로는 불가능하다. 즉 두 배씩 커지는 지수 증가는 몇십 번 만에 천문학적인 크기에 이르고, 그 횟수는 로그로 거꾸로 셀 수 있다.

아래 탐구 카드에서 접는 횟수를 바꾸며 두께가 사람 키, 산, 달을 언제 넘는지 로그 눈금 위에서 확인해 보자. 집에서는 신문지 한 장을 직접 반씩 접어 보고 몇 번째에서 더 접을 수 없는지 세어 본 뒤, 그때의 두께를 \(0.1\times2^n\) mm로 계산해 자로 잰 값과 비교해 보자.

1. 2002년 미국의 고등학생 브리트니 갈리반은 필요한 종이 길이의 식을 직접 유도하고, 약 1.2 km 길이의 휴지를 한 방향으로 12번 접어 종이를 7번 넘게 접을 수 없다는 통념을 깼다.