중세 유럽·중동의 과학
본문9세기 바그다드의 '지혜의 집'에서 일하던 알콰리즈미는 이렇게 물었다. "어떤 수의 제곱에 그 수의 열 배를 더하면 39가 된다. 그 수는 얼마인가?" 그때는 x도, 등호도, 근의 공식도 없었다. 그는 정사각형과 직사각형을 그려 답을 찾았다. 그림만으로 어떻게 방정식을 풀었을까? 그리고 중세 이슬람 세계는 왜 과학의 중심지가 되었을까?
1.3.1넓이로 푸는 방정식
알콰리즈미는 '제곱'을 한 변이 x인 정사각형의 넓이로, '열 배'를 가로 10, 세로 x인 직사각형의 넓이로 보았다. 그는 직사각형을 반으로 잘라 가로 5, 세로 x인 막대 두 개로 만들고, 정사각형의 두 변에 하나씩 붙였다. 그러면 모양은 큰 정사각형에서 한 귀퉁이가 빠진 꼴이 되고, 넓이는 39이다. 빠진 귀퉁이는 한 변이 5인 정사각형으로 넓이 25이다.
\(x^2 + bx = c\)에서 양변에 \(\left(\dfrac{b}{2}\right)^2\)을 더하면 \[\left(x + \frac{b}{2}\right)^2 = c + \left(\frac{b}{2}\right)^2\] 이 되어, \(x = \sqrt{c + \left(\frac{b}{2}\right)^2} - \dfrac{b}{2}\)이다.
빠진 귀퉁이 25를 채우면 큰 정사각형의 넓이는 \(39 + 25 = 64\)이고, 한 변은 8이다. 큰 정사각형의 한 변은 \(x + 5\)이므로 \(x = 3\)이다. 그림 1에서 \(b\)와 \(c\)를 바꾸어 보자. 같은 방법으로 늘 답을 찾을 수 있다. 그가 쓴 책 이름의 '알자브르'(복원)에서 대수학을 뜻하는 algebra가, 그의 이름에서 algorithm이 나왔다.1
1.3.2중세 이슬람과 유럽의 과학
8~13세기 아바스 왕조는 바그다드에 지혜의 집을 세우고 그리스, 페르시아, 인도의 책을 아랍어로 번역했다. 인도에서 온 0과 자리값 기수법을 받아들여 계산이 쉬워졌고, 이븐 알하이삼은 실험으로 빛이 눈으로 들어와 물체를 본다는 것을 밝혔다. 메카의 방향과 기도 시간을 정확히 알아야 하는 종교적 필요가 천문학과 삼각법을 발전시켰다. 이 지식은 12세기 이후 라틴어로 번역되어 유럽의 대학과 과학혁명의 밑거름이 되었다.
1.3.3예제 풀이
알콰리즈미의 방법으로 \(x^2 + 6x = 40\)을 풀어라. 빠진 귀퉁이의 넓이, 큰 정사각형의 넓이와 한 변을 차례로 구하여라. 이 방법으로는 음수인 답이 나오지 않는 까닭은 무엇인가?
막대는 가로 3, 세로 x인 것 두 개이고, 빠진 귀퉁이는 \(3 \times 3 = 9\)이다. 큰 정사각형의 넓이는 \(40 + 9 = 49\), 한 변은 7이다. 그래서 \(x + 3 = 7\), 곧 \(x = 4\)이다. 확인하면 \(16 + 24 = 40\)이다.
그런데 \((x + 3)^2 = 49\)에서 \(x + 3 = -7\), 곧 \(x = -10\)도 답이다. 알콰리즈미는 길이와 넓이로 생각했으므로 음수인 길이는 다루지 않았다. 즉 그림은 생각을 분명히 보여 주지만, 그 틀 밖의 답은 보지 못하게 하기도 한다. 그래서 수학은 그 뒤 기호와 음수를 받아들이며 더 넓어졌다.
아래 탐구 카드에서 그림만으로 이차방정식을 풀어 보고, 중세의 종교와 문화가 과학을 어떻게 키웠는지, 15세기 조선이 하늘과 비를 잰 까닭을 살펴보자.
- 알콰리즈미는 방정식을 모두 글로 썼다. '제곱과 근 열 개가 39 디르함과 같다'처럼 말이다. 문자와 기호로 쓰는 오늘날의 방식은 16~17세기 유럽에서 자리 잡았다.
알콰리즈미는 \(x^2 + bx\)를 정사각형과 막대의 넓이로 보고, 빠진 귀퉁이 \((\frac{b}{2})^2\)을 채워 큰 정사각형을 만드는 완전제곱의 방법으로 이차방정식을 풀었다. 중세 이슬람 세계는 번역과 종합, 실험으로 과학의 중심지가 되어 유럽에 지식을 전했다. 그래서 처음 질문의 답은 '그렇다'이다. 기호 없이도 넓이 그림만으로 \(x^2 + 10x = 39\)의 답 3을 찾을 수 있다.