고대 그리스의 과학
본문기원전 3세기 알렉산드리아의 도서관장 에라토스테네스는 이런 이야기를 들었다. 남쪽 도시 시에네에서는 하짓날 정오에 해가 깊은 우물 바닥까지 비춘다고 했다. 해가 머리 꼭대기에 있다는 뜻이다. 그런데 같은 날 같은 시각 알렉산드리아에서는 막대에 짧은 그림자가 생겼다. 그는 이 그림자 하나로 지구 둘레를 계산했다. 어떻게 가능했을까?
1.2.1에라토스테네스의 추론
에라토스테네스는 두 가지를 가정했다. 지구는 둥글고, 해는 아주 멀어 햇빛이 지구 어디에나 나란히 들어온다는 것이다. 시에네에서는 햇빛이 땅에 수직으로 들어오고, 알렉산드리아에서는 막대와 햇빛이 7.2°를 이룬다. 그런데 나란한 두 직선을 다른 직선이 지나면 엇각이 같다. 그래서 지구 중심에서 두 도시가 이루는 중심각도 7.2°이다.
원에서 호의 길이는 중심각에 비례한다. 중심각 \(\theta\)에 대한 호의 길이가 \(d\)이면 원의 둘레는 \[C = \frac{360°}{\theta} \times d\] 이다.
7.2°는 360°의 50분의 1이다. 두 도시 사이 거리는 약 5000스타디아였으므로 지구 둘레는 25만 스타디아라고 계산했다. 1스타디아를 약 185 m로 보면 약 4만 6천 km, 다른 환산으로는 약 4만 km로, 실제 둘레 4만 km와 매우 가깝다. 그림 1에서 각과 거리를 바꾸어 보자.1
1.2.2그리스 과학의 특징
고대 그리스의 철학자들은 세계를 신화가 아니라 원리로 설명하려 했다. 탈레스는 만물의 근원을 물이라 했고, 데모크리토스는 더 쪼갤 수 없는 원자를 생각했다. 아리스토텔레스는 관찰을 정리하여 자연을 체계적으로 설명했고, 유클리드는 몇 가지 공리에서 정리를 증명하는 기하학을 세웠다. 에라토스테네스의 측정은 이 기하학적 추론과 관측을 결합한 대표적인 예이다. 이 생각들은 이슬람 세계를 거쳐 중세 유럽으로 전해졌다.
1.2.3예제 풀이
하짓날 정오, 서울(북위 37.5°)에서 막대의 그림자가 햇빛과 이루는 각은 약 14.1°이고, 같은 날 같은 경도에 가까운 남쪽 지점(북위 33.5°)에서는 약 10.1°이다. 두 지점은 남북으로 약 445 km 떨어져 있다. 지구 둘레와 반지름을 구하여라.
두 지점의 그림자 각 차이는 \(14.1° - 10.1° = 4.0°\)이다. 둘레는 \(\dfrac{360}{4.0} \times 445 = 90 \times 445 \approx 40\,000\) km이다.
반지름은 \(\dfrac{40\,000}{2\pi} \approx 6370\) km이다. 에라토스테네스처럼 한 곳에서 해가 머리 꼭대기에 있을 필요는 없고, 두 곳의 그림자 각의 차이만 알면 된다. 다만 두 곳이 거의 같은 경도에 있어야 하고, 같은 시각에 재야 한다. 즉 막대 두 개와 줄자만으로 지구의 크기를 잴 수 있다. 그래서 오늘날에도 여러 학교가 함께 하짓날 그림자를 재는 활동을 한다.
아래 탐구 카드에서 그림자 두 개로 지구의 크기를 직접 재 보고, 그리스 철학자들의 생각이 어디에 남았는지 살펴보자.
- 스타디아는 경기장의 길이에서 온 단위로 도시마다 길이가 조금씩 달라, 에라토스테네스의 값이 얼마나 정확했는지는 학자마다 의견이 다르다. 분명한 것은 방법이 옳았다는 점이다.
에라토스테네스는 둥근 지구와 나란한 햇빛을 가정하고, 그림자 각이 지구 중심에서의 중심각과 같다는 기하학적 추론으로 지구 둘레를 \(\frac{360°}{\theta} \times d\)로 구했다. 그리스 과학은 세계를 원리로 설명하고 공리에서 정리를 증명하는 방법을 남겼다. 그래서 처음 질문의 답은 '그렇다'이다. 두 곳의 그림자 각 차이와 거리만 알면 지구의 크기를 잴 수 있다.