결정 구조와 단위세포 모형

X선으로 구리 결정을 조사하면, 원자들이 한 변 361.5 pm인 정육면체 상자를 되풀이해 쌓은 모양이라는 것을 알 수 있다. 상자의 꼭짓점과 각 면의 가운데에 원자가 있다. 철은 한 변 286.7 pm인 상자의 꼭짓점과 한가운데에 원자가 있다. 저울과 눈금 실린더로 잰 밀도는 구리 8.96 g/cm³, 철 7.87 g/cm³이다. 상자 하나에 원자가 몇 개 들어 있는지 세면, 이 밀도를 상자의 크기에서 거꾸로 계산할 수 있을까?

2.4.1상자 하나에 원자 몇 개

결정 전체를 되풀이해 쌓아 만들 수 있는 가장 작은 상자를 단위세포라 한다. 단위세포의 꼭짓점에 있는 원자는 이웃한 상자 8개가 함께 나누어 가지므로 한 상자에는 \(1/8\)개만 속한다. 면 가운데의 원자는 두 상자가 나누어 \(1/2\)개, 상자 한가운데의 원자는 온전히 1개가 속한다. 면심 입방 구조는 꼭짓점 8개와 면 6개에 원자가 있으므로 \(8 \times \tfrac{1}{8} + 6 \times \tfrac{1}{2} = 4\)개, 체심 입방 구조는 \(8 \times \tfrac{1}{8} + 1 = 2\)개이다.

상자 하나의 질량은 원자 \(Z\)개의 질량 \(ZM/N_A\)이고 부피는 \(a^3\)이므로, 둘을 나누면 밀도가 된다. 그리고 결정은 같은 상자의 되풀이이므로 상자 하나의 밀도가 곧 결정 전체의 밀도이다. 면심 입방 구조는 원자가 공간의 74%를 채우고, 체심 입방은 68%를 채운다. 같은 크기의 공을 쌓을 때 면심 입방이 가장 빽빽한 방법 가운데 하나이다.¹

2.4.2거꾸로, 구조를 알아내기

밀도와 상자 한 변을 알면 정리를 거꾸로 써서 \(Z = \rho N_A a^3/M\)을 구할 수 있다. \(Z\)가 4에 가까우면 면심 입방, 2에 가까우면 체심 입방이다. 이때 밀도는 저울과 부피 측정으로, 상자 한 변은 X선 회절로 재므로, 서로 다른 두 측정이 원자의 배열을 알려 주는 셈이다. 반대로 원자 배열과 상자 한 변을 알면 아보가드로수를 구할 수도 있다.

2.4.3예제 풀이

\(a = 361.5\) pm \(= 3.615 \times 10^{-8}\) cm이므로 \(a^3 \approx 4.724 \times 10^{-23}\) cm³이다. \(\rho = \dfrac{4 \times 63.55}{6.022 \times 10^{23} \times 4.724 \times 10^{-23}} = \dfrac{254.2}{28.45} \approx 8.94\) g/cm³이고, 잰 값 8.96과 0.3% 안쪽으로 맞는다.

한편 은은 \(a^3 = (4.086 \times 10^{-8})^3 \approx 6.82 \times 10^{-23}\) cm³이므로 \(Z = \dfrac{10.5 \times 6.022 \times 10^{23} \times 6.82 \times 10^{-23}}{107.87} \approx 4.0\)이다. 상자 하나에 원자가 4개이므로 은은 면심 입방 구조이다. 즉 X선으로 잰 상자의 크기와 저울로 잰 밀도가 원자 수준의 배열을 알려 준다.

아래 탐구 카드에서 단위세포 모형을 만들어 원자 수를 세고, 상자 한 변의 길이로 금속의 밀도를 계산해 보자.

1. 같은 크기의 공을 가장 빽빽하게 쌓는 방법이 74%라는 것은 1611년 케플러가 추측했는데, 1998년 미국의 헤일스가 컴퓨터를 이용해 증명하기까지 380년 넘게 걸렸다.