조파 실험과 천해파

길이 3 m인 물탱크 한쪽 끝에서 판을 앞뒤로 밀어 2초에 한 번씩 물결을 만들었다. 물 깊이가 10 cm인 곳에서 물결은 1초에 약 1 m를 갔는데, 탱크 바닥에 경사판을 두어 물 깊이가 2.5 cm로 얕아진 곳에서는 1초에 50 cm로 느려졌고 물결의 높이는 커졌다. 깊이 4000 m의 대양을 시속 700 km로 건너온 지진 해일도 해안에 다가오면 같은 일을 겪는다. 물이 얕아지면 파도는 왜 느려지고, 얼마나 높아질까?

2.8.1바닥이 느끼는 파도

물결이 지나가면 물 입자는 제자리에서 원을 그리며 돈다. 이 원운동은 아래로 갈수록 작아져, 파장의 절반쯤 깊이에서 거의 사라진다. 물 깊이가 파장의 절반보다 깊으면 파도는 바닥을 느끼지 못하는 심해파이고, 속력은 주기에만 관계한다. 반면 물 깊이가 파장의 \(1/20\)보다 얕으면 물 입자의 운동이 바닥까지 닿아 납작한 타원을 그리고, 파도는 바닥에 끌리는 천해파가 된다. 천해파의 속력은 주기와 상관없이 물 깊이로만 정해진다.

천해파가 얕은 곳으로 오면 주기는 그대로이지만 속력이 줄어 파장이 짧아진다. 같은 에너지가 짧은 파장 안에 몰리고 느리게 전달되므로 물결의 높이가 커진다. 지진 해일은 파장이 수백 km나 되어 깊이 4000 m의 대양에서도 천해파이다. 그래서 대양을 매우 빠르게 건너고, 해안에 가까워지면 느려지면서 뒤따르는 물이 쌓여 높이 솟는다.¹

2.8.2물탱크에서 재는 방법

조파 실험에서는 판의 왕복 주기를 정하고, 물탱크 옆면에 붙인 눈금자를 따라 물결의 마루가 일정한 거리를 가는 시간을 잰다. 동영상으로 찍어 한 장면씩 넘기며 마루의 위치를 읽으면 더 정확하다. 물 깊이를 바꾸어 가며 속력을 재고 \(\sqrt{h}\)에 대해 그래프를 그리면 원점을 지나는 직선이 나오며, 기울기가 \(\sqrt{g}\)에 가까운지로 식을 확인한다. 주기를 짧게 하면 파장이 짧아져 깊이에 비해 천해파의 조건을 벗어나므로, 판을 천천히 움직여 파장을 길게 만들어야 한다.

2.8.3예제 풀이

대양에서 속력은 \(\sqrt{9.8\times4000} \approx 198\) m/s, 곧 시속 약 713 km이다. 깊이 10 m에서는 \(\sqrt{9.8\times10} \approx 9.9\) m/s로 20분의 1로 느려진다.

높이는 \(H \propto h^{-1/4}\)이므로 \((4000/10)^{1/4} = 400^{1/4} \approx 4.5\)배가 되어 약 4.5 m로 솟는다. 실제로는 만의 모양이 물을 모으면 이보다 훨씬 높아지기도 한다. 1200 km를 198 m/s로 건너면 약 6000초, 곧 1시간 40분쯤 걸린다. 그래서 먼 곳에서 일어난 지진의 해일은 경보를 내고 대피할 시간이 있다. 즉 천해파의 속력이 물 깊이로 정해지므로 해일의 도착 시각을 미리 계산할 수 있고, 얕아지며 느려진 만큼 높이가 커진다.

아래 탐구 카드에서 물탱크의 물 깊이를 바꾸어 물결의 속력을 재고, 경사판 위에서 물결의 높이가 어떻게 달라지는지 확인해 보자.

1. 높이가 깊이의 네제곱근에 반비례한다는 관계는 1838년 영국의 수학자 그린이 처음 얻었다. 2004년 인도양 지진 해일은 진원에서 4500 km 떨어진 아프리카 동해안까지 약 7시간 만에 닿았다.