미분방정식과 방향장

도함수와 함수 사이의 관계식을 미분방정식이라고 합니다. 미분방정식 \(y' = f(x, y)\)는 평면의 각 점에서 해 곡선이 가져야 할 기울기를 알려 줍니다. 그 기울기를 짧은 선분으로 모두 그린 것이 방향장이고, 해 곡선은 방향장을 따라 흐릅니다. 이 절에서는 방정식을 풀지 않고 방향장만으로 해의 모양을 그려 보고, 방향장의 생김새로 방정식을 알아맞혀 봅니다.

먼저 알면 좋은 것 접선의 기울기 미분계수의 기하적 의미 지수함수와 로그함수의 도함수

본문

미분방정식과 방향장

본문

미분방정식 \(y' = x - y\)는 곡선 위의 각 점 \((x, y)\)에서 접선의 기울기가 \(x - y\)라는 것만 알려 준다. 해의 식은 아직 모르지만, 평면의 여러 점에 그 점의 기울기만큼 기운 짧은 선분을 그려 두면, 선분들이 마치 물결처럼 한쪽으로 흐르는 무늬를 만든다. 그 무늬를 따라 펜을 움직이면 해의 그래프가 그려질까? 또 이 방정식에는 기울기가 늘 1인 직선 해가 하나 숨어 있다고 한다. 어떤 직선일까?

그림 1. 짧은 선분들은 각 점에서의 기울기이다. 해 곡선은 선분을 따라 흐르며, 모두 직선 \(y = x - 1\)에 다가간다.

먼저 알아야 할 것접선의 기울기, 미분계수의 기하적 의미, 지수함수의 도함수.

4.1.1기울기의 지도

미분방정식은 미지의 함수와 그 도함수 사이의 관계식이다. \(y' = f(x, y)\) 꼴의 미분방정식은 평면의 각 점에서 해 곡선이 가져야 할 기울기를 정해 준다. 그래서 격자 위의 여러 점에 그 기울기를 가진 짧은 선분을 그리면, 해 곡선이 어떻게 흘러야 하는지 보여 주는 지도가 생긴다. 이것을 방향장이라 한다. 한 점에서 출발해 선분과 늘 나란하게 펜을 움직이면 그 점을 지나는 해 곡선이 그려진다. 출발점마다 다른 곡선이 나오며, 출발점을 정해 주는 조건을 초기 조건이라 한다.

정리 4.1.1 방향장과 등경사선

미분방정식 \(y' = f(x, y)\)의 해 곡선은 지나는 모든 점에서 방향장의 선분에 접한다. 기울기가 같은 점들을 이은 곡선 \(f(x, y) = c\)를 등경사선이라 하며, 해 곡선은 등경사선 \(f(x, y) = c\)를 지날 때 기울기 \(c\)를 가진다.

방향장을 손으로 그릴 때는 등경사선부터 그리면 빠르다. \(y' = x - y\)에서 기울기가 0인 점들은 \(y = x\) 위에 있고, 기울기가 1인 점들은 \(y = x - 1\) 위에 있다. 그런데 \(y = x - 1\)은 그 자체가 기울기 1인 직선이어서, 이 직선 위에서는 선분들이 직선과 나란하다. 그래서 직선 \(y = x - 1\) 자체가 하나의 해 곡선이다. 직선 위쪽에서는 기울기가 1보다 작고 아래쪽에서는 1보다 커서, 다른 해 곡선들은 모두 이 직선 쪽으로 다가간다.¹

4.1.2무늬만 보고 방정식 맞히기

방향장의 무늬에는 방정식의 성질이 드러난다. 선분의 기울기가 \(x\)에만 따라 변해 같은 세로줄에서 모두 나란하면 \(y' = f(x)\) 꼴이고, 같은 가로줄에서 모두 나란하면 \(y' = g(y)\) 꼴이다. \(y' = g(y)\) 꼴에서 \(g(y) = 0\)이 되는 높이에서는 선분이 수평이어서, 그 높이의 수평선이 해가 된다. 개체 수나 온도처럼 시간에 따라 변하는 양의 방정식은 대부분 이 꼴이어서, 방향장만 보아도 양이 어느 값으로 다가가는지 알 수 있다.

그림 2. 선분이 어느 줄에서 나란한지 보면 방정식이 무엇에 따라 변하는지 알 수 있다.

4.1.3예제 풀이

예제 4.1.2

\(y = x - 1 + Ce^{-x}\)가 \(y' = x - y\)의 해임을 확인하고, 초기 조건 \(y(0) = 0\)과 \(y(0) = 5\)에 맞는 해를 구하여라. \(x\)가 커질 때 두 해는 어떻게 되는가?

\(y' = 1 - Ce^{-x}\)이고 \(x - y = x - (x - 1 + Ce^{-x}) = 1 - Ce^{-x}\)이므로 두 식이 같아 해이다. \(C = 0\)이면 직선 해 \(y = x - 1\)이다. \(y(0) = 0\)이면 \(-1 + C = 0\)에서 \(C = 1\)이므로 \(y = x - 1 + e^{-x}\)이고, \(y(0) = 5\)이면 \(C = 6\)이므로 \(y = x - 1 + 6e^{-x}\)이다.

\(x\)가 커지면 \(e^{-x}\)가 0으로 가므로 두 해 모두 직선 \(y = x - 1\)에 다가간다. 예를 들어 \(x = 3\)에서 두 해는 각각 \(2 + 0.05 = 2.05\), \(2 + 0.30 = 2.30\)으로 직선의 값 2와 가까워진다. 방향장에서 본 대로 모든 해 곡선이 직선 쪽으로 흘러든 것이다. 즉 방향장은 식을 풀기 전에 해 곡선의 모양과 해들이 어디로 다가가는지를 보여 주고, 등경사선이 해 곡선이 되는 특별한 경우도 찾게 해 준다.

아래 탐구 카드에서 방향장 위에 출발점을 찍어 해 곡선을 그려 보고, 방향장의 무늬만 보고 어떤 미분방정식인지 맞혀 보자.

일기 예보의 바람 지도도 방향장과 닮았다. 지도 곳곳의 화살표는 그 자리에서 공기가 움직이는 방향이고, 화살표를 따라가면 공기 덩어리가 지나갈 길, 곧 미분방정식의 해 곡선을 그릴 수 있다.

마무리

미분방정식 \(y' = f(x, y)\)는 평면의 각 점에서 해 곡선의 기울기를 정해 주므로, 그 기울기의 짧은 선분을 그린 방향장을 따라가면 식을 풀지 않고도 해 곡선을 그릴 수 있다. 기울기가 같은 점을 이은 등경사선을 먼저 그리면 방향장을 빨리 그리고, 등경사선이 해가 되는 경우도 찾는다. 처음 질문의 \(y' = x - y\)에서는 기울기 1인 등경사선 \(y = x - 1\)이 직선 해이고, 다른 해들은 모두 이 직선에 다가간다.

탐구 1

풀지 않고도 미분방정식의 해를 그릴 수 있을까?

미분방정식과 방향장 · 조작

누른 점: —
그 점의 기울기 \(y'\): —
그린 해 곡선: 0

그림을 누르면 그 점을 초기 조건으로 하는 해 곡선을 앞뒤로 그린다(수치 계산). 여러 곳을 눌러 해의 가족을 그려 보자.

질문\(y' = x - y\)처럼 도함수와 함수 사이의 관계식을 미분방정식이라고 한다. 이 식을 만족하는 함수 \(y\)를 아직 구할 줄 모른다. 그래도 해의 그래프가 어떻게 생겼는지 알 수 있을까?
복원\(y'(a)\)는 그래프 위의 점 \((a, y(a))\)에서 그은 접선의 기울기이다. 접선은 그 점 근처에서 그래프와 거의 같다.
설명미분방정식 \(y' = f(x, y)\)는 "점 \((x, y)\)를 지나는 해 곡선은 그 점에서 기울기가 \(f(x, y)\)"라고 알려 준다. 평면의 많은 점에서 이 기울기를 짧은 선분으로 그린 것이 방향장이다. 해 곡선은 어디서나 선분을 따라 흐르는 곡선이므로, 식을 풀지 않아도 방향장만 보고 해의 모양을 그릴 수 있다. 한 점(초기 조건)을 정하면 그 점을 지나는 해가 하나 정해진다.
연결\(y' = y\)의 해 곡선은 \(y = Ce^x\)의 가족이고, \(y' = -\frac{x}{y}\)의 해 곡선은 원 \(x^2 + y^2 = r^2\)이다. \(y' = y(2 - y)\)에서는 \(y = 0\)과 \(y = 2\)가 수평선 해(평형해)이고, 그 사이에서 출발한 해는 모두 2로 다가간다. 이 모양은 4절의 로지스틱 모형이 된다.
적용보기마다 여러 점을 눌러 해 곡선을 그려 보자. \(y' = x - y\)의 해들은 결국 어떤 직선에 다가가는가? \(y' = y(2 - y)\)에서 \(y > 2\)나 \(y < 0\)에서 출발하면 어떻게 되는가?
판단방향장의 선분은 기울기만 알려 줄 뿐 해의 식을 주지는 않는다. 또 \(y' = -\frac{x}{y}\)처럼 \(y = 0\)에서 기울기가 정해지지 않는 곳에서는 해 곡선이 끝난다(원이 \(x\)축에서 수직이 되는 곳). 그림 밖으로 나가는 해가 어떻게 되는지도 그림만으로는 알 수 없다.

확인조건이 달라지면

미분방정식 \(y' = y - x\)의 방향장에서 기울기가 0인 점들은 어떤 도형 위에 있는가?

탐구 2

방향장만 보고 미분방정식을 알아맞힐 수 있을까?

방향장 읽기 · 도전

\(y' = x\)

\(y' = y\)

\(y' = x + y\)

\(y' = -\frac{y}{x}\)

질문네 방향장 A~D와 네 미분방정식이 있다. 식을 풀지 않고 방향장의 특징만으로 짝을 지을 수 있을까?
복원방향장의 선분은 점 \((x, y)\)에서의 기울기 \(f(x, y)\)를 나타낸다. 기울기가 양수이면 오른쪽 위로, 음수이면 오른쪽 아래로 기운다.
설명단서를 찾는 요령은 세 가지이다. ① \(f\)가 \(x\)만의 식이면 같은 세로줄의 선분이 모두 평행하고, \(y\)만의 식이면 같은 가로줄의 선분이 모두 평행한다. ② 기울기가 0인 곳(등경사선)을 찾는다. \(y' = x\)는 \(y\)축 위에서, \(y' = y\)는 \(x\)축 위에서, \(y' = x + y\)는 직선 \(y = -x\) 위에서 수평이다. ③ 부호를 본다. \(y' = -\frac{y}{x}\)는 제1, 3사분면에서 음수이고, 해는 쌍곡선 \(xy = c\)이다.
연결같은 줄의 선분이 평행하다는 것은 해 곡선끼리 평행이동한 모양이라는 뜻이다. \(y' = x\)의 해는 \(y = \frac{x^2}{2} + C\)로 위아래로 평행이동한 포물선들이고, \(y' = y\)의 해 \(y = Ce^x\)는 좌우로 평행이동한 곡선들이다.
적용네 방정식의 짝을 고르고 채점해 보자. 틀린 것은 어떤 단서로 다시 볼 수 있는가? 해 곡선을 겹쳐 짝이 맞는지 확인해 보자.
판단방향장 그림은 몇 개의 점에서만 기울기를 보여 주므로, 그림 사이의 좁은 곳에서 일어나는 일(기울기가 갑자기 커지는 곳 등)은 놓칠 수 있다. \(y' = -\frac{y}{x}\)는 \(x = 0\)에서 정의되지 않는데, 격자에 그 점이 없으면 그림에서는 보이지 않는다.

확인조건이 달라지면

방향장에서 같은 가로줄(같은 \(y\))의 선분들이 모두 평행했다. 가능한 미분방정식은?

AI 출제 문항연습문제 풀어보기9문항