미분방정식의 활용

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90 °C의 커피 200 mL와 5 °C의 찬 우유 50 mL가 있다. 방의 온도는 20 °C이고, 10분 뒤에 우유를 탄 커피를 마시려 한다. 우유를 처음부터 넣고 10분을 기다릴 때와, 커피만 10분 식힌 뒤 마시기 직전에 우유를 넣을 때, 어느 쪽이 더 차가울까? 처음에 넣으면 온도가 바로 크게 내려가니 유리할 것 같지만, 뜨거운 물체일수록 빨리 식는다는 사실을 생각하면 답이 바뀔 수도 있다. 물체가 식는 빠르기는 어떤 미분방정식을 따를까?

그림 1. 뜨거운 커피를 그대로 두면 방과의 온도 차가 커서 더 빨리 식고, 우유는 마지막에 온도를 내린다.

먼저 알아야 할 것지수함수의 그래프, 반감기, 자연로그, 변수분리형 미분방정식(미분방정식의 풀이).

4.4.1차이에 비례해 변한다

뜨거운 물체가 식는 빠르기는 물체와 주변의 온도 차에 비례한다. 이것을 뉴턴의 냉각 법칙이라 하며, 온도 \(T\)와 방의 온도 \(T_a\)로 \(T' = -k(T - T_a)\)로 쓴다. \(u = T - T_a\)로 놓으면 \(u' = -ku\)이고, 변수분리로 풀면 \(u = u_0e^{-kt}\)이다. 그래서 온도 차는 지수적으로 줄고, 처음 차이가 클수록 같은 시간에 더 많이 줄어든다. 방사성 붕괴도 같은 꼴이다. 원자 하나하나는 언제 붕괴할지 모르지만 단위 시간에 붕괴할 확률이 같으므로, 붕괴하는 개수는 남은 개수에 비례해 \(N' = -\lambda N\)을 따른다.

정리 4.4.1 지수 모형과 로지스틱 모형

\(y' = ky\)의 해는 \(y = y_0e^{kt}\)이고, \(k < 0\)이면 반감기는 \(\ln2/|k|\)이다. 환경이 받아들일 수 있는 최대 개체 수가 \(K\)일 때 \(P' = rP\left(1 - \dfrac PK\right)\)의 해는 \[P(t) = \frac{K}{1 + Ae^{-rt}},\qquad A = \frac{K - P_0}{P_0}\]이다.

개체 수는 처음에는 개체 수에 비례해 늘어 지수 모형을 따르지만, 먹이와 공간이 한정되어 있으면 늘어나는 빠르기가 점점 줄어든다. 로지스틱 모형은 늘어나는 빠르기에 \(1 - P/K\)를 곱해, 개체 수가 \(K\)에 가까워지면 증가가 멈추게 한다. 해의 그래프는 처음에는 지수함수처럼 가파르게 오르다가 \(P = K/2\)에서 가장 빨리 늘고, 그 뒤로 \(K\)에 다가가며 평평해지는 S자 모양이다.¹

4.4.2모형에서 수를 읽다

미분방정식 모형은 측정 하나나 둘로 상수를 정하면 앞으로의 값을 예측한다. 커피가 5분 만에 90 °C에서 75 °C로 식었다면, 온도 차가 70에서 55로 줄었으므로 \(e^{-5k} = 55/70\)에서 \(k \approx 0.048\)/분이다. 탄소 14의 반감기 5730년을 알면 \(\lambda = \ln2/5730\)이고, 나무 화석에 남은 탄소 14의 비율로 나이를 거꾸로 셀 수 있다. 그래서 같은 꼴의 미분방정식이 커피 잔과 화석과 생물의 개체 수를 함께 설명한다.

그림 2. 무엇이 무엇에 비례해 변하는지만 정하면 서로 다른 현상이 같은 꼴의 방정식으로 쓰인다.

4.4.3예제 풀이

예제 4.4.2

처음 질문의 두 방법으로 10분 뒤 커피의 온도를 구하여라. 우유와 커피는 비열과 밀도가 같다고 보고, 섞은 온도는 부피로 가중평균한다. 우유를 탄 커피도 같은 \(k = 0.05\)/분으로 식는다고 한다. \(e^{-0.5} \approx 0.6065\)이다.

우유를 처음에 넣으면 섞은 온도는 \(\dfrac{200\times90 + 50\times5}{250} = 73\) °C이다. 10분 뒤에는 \(20 + 53\times e^{-0.5} \approx 20 + 32.1 = 52.1\) °C이다.

커피만 먼저 식히면 10분 뒤 \(20 + 70\times0.6065 \approx 62.5\) °C이고, 여기에 우유를 섞으면 \(\dfrac{200\times62.5 + 50\times5}{250} \approx 51.0\) °C이다. 그래서 우유를 나중에 넣는 쪽이 약 1 °C 더 차갑다. 처음 10분 동안 커피가 더 뜨거워 방과의 온도 차가 컸으므로, 그만큼 열을 더 많이 내보냈기 때문이다. 즉 무엇이 무엇에 비례해 변하는지를 미분방정식으로 쓰고 풀면, 직관으로는 헷갈리는 선택도 계산으로 비교할 수 있다.

아래 탐구 카드에서 우유를 넣는 시각을 바꾸며 커피의 온도를 비교하고, 탄소 14의 붕괴와 개체 수의 로지스틱 성장을 모형으로 계산해 보자.

로지스틱 모형은 1838년 벨기에의 페르휠스트가 인구 증가를 설명하려고 제안했다. 1920년대 미국의 펄과 리드가 미국 인구 자료에 다시 맞추어 널리 알려졌고, 오늘날에는 감염병이 퍼지는 초기 모형으로도 쓰인다.

마무리

뉴턴의 냉각 법칙 \(T' = -k(T - T_a)\)과 방사성 붕괴 \(N' = -\lambda N\)은 변하는 빠르기가 현재 양이나 차이에 비례하는 모형이어서 해가 지수함수이고, 개체 수는 최대 개체 수에 다가가며 증가가 줄어드는 로지스틱 모형으로 나타낸다. 측정값으로 상수를 정하면 앞으로의 값을 예측하고 지난 시간을 거꾸로 셀 수 있다. 처음 질문의 커피는 우유를 나중에 넣어야 약 51.0 °C로, 처음에 넣은 52.1 °C보다 차갑다.

탐구 1

커피를 빨리 식히려면 찬 우유를 언제 넣어야 할까?

뉴턴의 냉각 법칙 · 예측 → 확인 · 활용

90 °C 커피 200 mL와 5 °C 우유 20 mL가 있습니다. 10분 뒤에 마실 때 더 차가운 쪽은?

냉각 상수 \(k\) = 0.05 /분

A의 10분 뒤 온도: ?
B의 10분 뒤 온도: ?
차이 (A − B): ?

실내 20 °C. 커피와 우유는 같은 열용량(1 mL당)을 가진다고 보고, 섞으면 부피 비로 평균한 온도가 된다고 보는 모식이다. \(k\)는 컵과 환경에 따라 정해지는 상수이다.

질문뜨거운 커피에 찬 우유를 넣어 식히려 한다. 처음에 넣는 것과 10분 뒤에 넣는 것, 10분 뒤 마시는 순간의 온도는 어느 쪽이 더 낮을까? 먼저 예측해 보자.
복원변수분리형 미분방정식 \(y' = ky\)의 해는 \(y = Ae^{kx}\)이다. 물체가 식는 빠르기는 주변과의 온도 차가 클수록 크다.
설명뉴턴의 냉각 법칙은 \(\frac{dT}{dt} = -k(T - T_a)\)이다(\(T_a\)는 실내 온도). \(y = T - T_a\)로 놓으면 \(y' = -ky\)이므로 \[T(t) = T_a + (T_0 - T_a)e^{-kt}\]이다. 온도 차가 클수록 빨리 식으므로, 뜨거운 채로 두었다가 나중에 우유를 넣으면(B) 처음 10분 동안 더 많은 열을 잃는다. 그래서 B가 조금 더 차갑다.
연결같은 식이 시신의 온도로 사망 시각을 추정하거나, 오븐에서 꺼낸 음식이 식는 시간을 계산하는 데 쓰인다. 실제로는 증발, 컵의 재질, 저어 주는 정도에 따라 \(k\)가 달라지고, 온도 차가 아주 크면 이 법칙이 잘 맞지 않기도 한다.
적용예측을 고른 뒤 그래프와 수치로 확인해 보자. 두 곡선은 처음 10분 동안 어떻게 다른가? \(k\)를 바꾸면 차이는 커지는가? 차이가 생각보다 작다면 그 까닭은 무엇일까?
판단이 결론은 "온도 차에 비례해 식는다"는 모형에서 나온 것이다. 우유를 넣으면 부피가 늘어 겉넓이가 조금 커지는 효과 같은 것은 모식에 넣지 않았다. 실제 차이는 1 °C 안팎으로 작아서, 실험으로 확인하려면 온도계의 정밀도와 조건을 잘 맞춰야 한다.

확인조건이 달라지면

실내 20 °C에서 80 °C인 물이 10분 뒤 50 °C가 되었다. 뉴턴의 냉각 법칙에 따르면 다시 10분 뒤의 온도는?

탐구 2

원자 하나하나는 제멋대로 붕괴하는데 왜 전체는 지수함수를 따를까?

방사성 붕괴 · 시뮬레이션 · 활용

측정한 탄소 14의 비율 = 50%

흐른 시간: 0년
남은 원자: 400
측정 비율로 구한 나이: —

한 걸음(573년, 반감기의 \(\frac{1}{10}\))마다 각 원자가 확률 \(1 - 2^{-0.1} \approx 0.067\)로 붕괴한다. 반감기 5730년.

질문방사성 원자 하나가 언제 붕괴할지는 아무도 알 수 없다. 그런데 많은 원자를 모아 두면 남은 양이 정확히 지수함수를 따라 줄어든다. 제멋대로인 개별 사건에서 어떻게 정확한 법칙이 나올까?
복원\(y' = -\lambda y\)의 해는 \(y = y_0e^{-\lambda t}\)이다. 확률이 \(p\)인 시행을 \(N\)번 하면 성공 횟수의 평균은 \(Np\)이다.
설명각 원자는 짧은 시간 \(\Delta t\) 동안 같은 확률 \(\lambda\Delta t\)로 붕괴한다. 원자가 \(N\)개 있으면 그동안 평균 \(\lambda N\Delta t\)개가 붕괴하므로 \(\Delta N \approx -\lambda N\Delta t\), 곧 \[\frac{dN}{dt} = -\lambda N,\qquad N = N_0e^{-\lambda t}\]이다. 줄어드는 빠르기가 남은 양에 비례한다는 것이 핵심이다. 반감기 \(T\)는 \(e^{-\lambda T} = \frac{1}{2}\)에서 \(T = \frac{\ln 2}{\lambda}\)이고, 탄소 14는 약 5730년이다.
연결방사성 탄소 연대 측정: 살아 있는 생물은 대기와 같은 비율의 탄소 14를 지니다가, 죽으면 더 받아들이지 않고 붕괴만 한다. 남은 비율 \(f\)를 재면 나이는 \(t = -\frac{5730}{\ln 2}\ln f\)이다. 반감기의 9~10배(약 5만 년)가 지나면 남은 양이 처음의 0.1~0.2 %뿐이라 재기 어려워진다.
적용한 걸음씩, 또 계속 실행으로 원자를 붕괴시키며 남은 비율의 점이 곡선을 따라가는지 보자. 실행할 때마다 결과가 조금씩 다른가? 측정 비율 막대로 25 %, 10 %일 때의 나이를 구해 보자.
판단원자 400개로는 점이 곡선에서 눈에 띄게 흔들린다. 실제 시료에는 원자가 수조 개 이상이라 지수함수에 아주 잘 맞다. 또 대기 중 탄소 14의 비율이 시대마다 조금씩 달랐으므로, 실제 연대 측정에서는 나이테 등으로 만든 보정 곡선을 함께 쓴다.

확인조건이 달라지면

어떤 나무 조각의 탄소 14 비율이 살아 있는 나무의 \(\frac{1}{8}\)이다. 나무가 죽은 지 약 몇 년이 지났는가?

탐구 3

개체 수는 왜 끝없이 지수적으로 늘지 않을까?

로지스틱 방정식 · 조작 · 활용

증가율 \(r\) = 0.8

처음 개체 수 \(P_0\) = 50

시각 \(t\) = 5

개체 수 \(P(t)\): —
증가 속도 \(P'(t)\): —
가장 빨리 느는 때: —

환경 수용력 \(K = 1000\)으로 둔 모식이다. 실제 생물 집단의 수치가 아니다.

질문먹이와 공간이 넉넉하면 개체 수는 \(P' = rP\), 곧 지수함수로 늘어난다. 하지만 실제로는 먹이와 공간이 모자라 언젠가 멈춘다. 이 효과를 미분방정식에 어떻게 넣을까?
복원변수분리형 미분방정식은 \(\int\frac{dy}{g(y)} = \int f(x)\,dx\)로 푼다. 부분분수로 나누면 \(\frac{K}{P(K - P)} = \frac{1}{P} + \frac{1}{K - P}\)이다.
설명개체 수가 환경이 감당할 수 있는 최대치 \(K\)(환경 수용력)에 가까워질수록 증가율이 줄어든다고 보면 \[P' = rP\left(1 - \frac{P}{K}\right)\]이다. 이것이 로지스틱 방정식이다. 변수분리와 부분분수로 풀면 \[P(t) = \frac{K}{1 + \left(\frac{K}{P_0} - 1\right)e^{-rt}}\]이다. \(P\)가 작을 때는 지수 성장과 거의 같고, \(P = \frac{K}{2}\)일 때 가장 빨리 늘며(변곡점), 그 뒤로는 \(K\)에 다가가며 느려진다. 그래프는 S자 모양이다.
연결아래 그림의 \(P'\)–\(P\) 그래프는 위로 볼록한 포물선이다. \(P = 0\)과 \(P = K\)에서 \(P' = 0\)인 평형해이고, 그 사이에서는 늘어나고 \(K\)보다 크면 줄어든다. 방향장에서 본 \(y' = y(2 - y)\)와 같은 구조이다. 감염병이 퍼지는 초기 모형, 새로운 제품이 퍼지는 속도 모형에도 같은 식이 쓰인다.
적용\(t\)를 움직이며 \(P'\)가 가장 큰 때를 찾고, 그때의 \(P\)가 \(\frac{K}{2} = 500\)인지 확인해 보자. \(P_0\)을 \(K\)보다 크게(예를 들어 1500) 하면 어떻게 되는가? \(r\)을 바꾸면 무엇이 달라지고 무엇이 그대로인가?
판단로지스틱 방정식은 \(r\)과 \(K\)가 일정하다는 단순한 모형이다. 실제 집단은 계절, 포식자, 나이 구조 때문에 \(K\) 근처에서 오르내리거나 갑자기 줄기도 한다. 처음 몇 개의 자료만으로는 지수 성장인지 로지스틱 성장인지 구분하기 어렵다는 점도 기억해야 한다.

확인조건이 달라지면

\(P' = 0.5P\left(1 - \frac{P}{200}\right)\)에서 개체 수가 가장 빨리 늘 때의 증가 속도는?