연립이차방정식

두 식을 함께 만족하는 \((x, y)\)를 찾을 때, 식 하나가 이차식이면 해가 여러 개일 수 있습니다. 이 절에서는 일차식을 이차식에 대입해 미지수를 하나로 줄이는 방법과, 인수분해되는 이차식을 일차식 두 개로 나누어 푸는 방법을 익힙니다. 해의 개수는 그래프의 교점의 개수와 같습니다.

먼저 알면 좋은 것 연립일차방정식 이차방정식의 판별식 인수분해 직선의 방정식

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연립이차방정식

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둘레가 14 cm이고 대각선의 길이가 5 cm인 직사각형의 가로와 세로는 얼마일까? 가로를 \(x\), 세로를 \(y\)라 하면 \(x + y = 7\)과 \(x^2 + y^2 = 25\)라는 두 식이 생긴다. 일차방정식끼리의 연립과 무엇이 다를까?

\(x + y\) =

그림 1. 두 식을 동시에 만족하는 \((x, y)\)는 원 \(x^2 + y^2 = 25\)와 직선 \(x + y = c\)의 교점이다.

먼저 알아야 할 것중학교의 연립일차방정식(대입법, 가감법), 이차방정식의 풀이와 판별식(이차방정식의 판별식), 인수분해(인수분해).

2.8.1일차식을 이용해 문자 하나를 지운다

미지수가 두 개인 방정식 두 개를 함께 묶은 것을 연립방정식이라 하고, 그 가운데 차수가 가장 높은 식이 이차인 것을 연립이차방정식이라 한다. 중학교에서 연립일차방정식을 풀 때는 한 문자를 지워 일차방정식 하나로 만들었다. 연립이차방정식도 같은 생각으로 푼다.

처음 질문의 \(x + y = 7\)은 일차식이므로 \(y = 7 - x\)로 바꾸어 다른 식에 넣을 수 있다. 그러면 \(x^2 + (7 - x)^2 = 25\), 곧 \(2x^2 - 14x + 24 = 0\)이다. 양변을 2로 나누면 \(x^2 - 7x + 12 = 0\)이고, \((x - 3)(x - 4) = 0\)이므로 \(x = 3\) 또는 \(x = 4\)이다.

각각 \(y = 7 - x\)에 넣으면 \(y = 4\), \(y = 3\)이다. 따라서 해는 \((3, 4)\)와 \((4, 3)\)이고, 직사각형은 가로와 세로가 3 cm, 4 cm이다. 두 해는 가로와 세로를 바꾼 것일 뿐 같은 직사각형이다.

2.8.2그림으로 보는 해의 개수

그림 1에서 \(x^2 + y^2 = 25\)를 만족하는 점들은 원점을 중심으로 한 반지름 5인 원을 이루고, \(x + y = 7\)을 만족하는 점들은 직선을 이룬다.¹ 연립방정식의 해는 두 그림 위에 동시에 있는 점, 곧 교점이다. 그래서 \(c = 7\)일 때 교점 \((3, 4)\)와 \((4, 3)\)이 보인다.

슬라이더로 \(c\)를 키우면 직선이 원에서 멀어진다. 대입한 이차방정식 \(2x^2 - 2cx + c^2 - 25 = 0\)의 \(\dfrac{D}{4} = c^2 - 2(c^2 - 25) = 50 - c^2\)이므로, \(c < 5\sqrt{2} \approx 7.07\)이면 해가 두 쌍이고 그보다 크면 실수 해가 없다. 직선이 원과 만나는지를 판별식으로 가리는 것은 포물선과 직선에서 한 일과 같다.

방법 2.8.1 연립이차방정식의 풀이

일차방정식과 이차방정식의 연립이면 일차식을 한 문자에 대하여 풀어 이차식에 대입한다. 이차방정식 두 개의 연립이면 한 식을 인수분해하여 일차식 두 개로 나누거나, 두 식을 더하고 빼서 상수항이나 이차항을 없앤 뒤 같은 방법을 쓴다.

2.8.3이차식끼리의 연립

두 식이 모두 이차이면 대입할 일차식이 바로 보이지 않는다. 그런데 한 식의 한쪽이 0이고 인수분해가 되면 사정이 달라진다. 가령 \(x^2 - 3xy + 2y^2 = 0\)은 \((x - y)(x - 2y) = 0\)이므로 \(x = y\) 또는 \(x = 2y\)이다. 즉 이차식 하나가 일차식 두 개로 쪼개진다.

그림 2. 이차식이 일차식 두 개로 쪼개지면, 연립방정식도 '일차와 이차'의 연립 두 개로 나뉜다.

2.8.4예제 풀이

예제 2.8.2

연립방정식 \(\begin{cases} x^2 - 3xy + 2y^2 = 0 \\ x^2 + y^2 = 20 \end{cases}\)을 풀어라.

첫째 식을 인수분해하면 \((x - y)(x - 2y) = 0\)이므로 \(x = y\) 또는 \(x = 2y\)이다. 두 경우를 따로 둘째 식에 대입한다.

\(x = y\)이면 \(2y^2 = 20\)이므로 \(y = \pm\sqrt{10}\)이고, \(x = y\)이므로 해는 \((\sqrt{10}, \sqrt{10})\), \((-\sqrt{10}, -\sqrt{10})\)이다. \(x = 2y\)이면 \(5y^2 = 20\)이므로 \(y = \pm 2\)이고, 해는 \((4, 2)\), \((-4, -2)\)이다.

따라서 해는 모두 네 쌍이다. \((4, 2)\)를 넣어 확인하면 첫째 식은 \(16 - 24 + 8 = 0\), 둘째 식은 \(16 + 4 = 20\)으로 둘 다 맞는다. 그림으로 보면 원 \(x^2 + y^2 = 20\)이 원점을 지나는 두 직선 \(y = x\), \(y = \tfrac{1}{2}x\)와 각각 두 번씩 만나는 모습이다. 아래 탐구 카드에서 직선과 곡선을 움직이며 교점의 개수가 바뀌는 순간을 직접 찾아보자.

원의 방정식은 공통수학2의 '원의 방정식'에서 자세히 다룬다. 여기서는 두 점 사이의 거리가 5라는 피타고라스 정리의 식으로 보면 된다.

마무리

연립이차방정식은 일차식을 이용하거나 이차식을 인수분해해 얻은 일차식을 이용해 한 문자를 지우고, 남은 이차방정식을 푼다. 해는 두 식이 나타내는 그림의 교점이므로, 대입한 이차방정식의 판별식이 교점의 개수를 알려 준다. 처음 질문의 직사각형은 \((3, 4)\)와 \((4, 3)\)에서 나오는 가로 3 cm, 세로 4 cm짜리이다.

탐구 1

일차식과 이차식을 함께 만족하는 해는 몇 개일까?

연립이차방정식 · 대입법과 판별식

기울기 \(m\) = \(-1\)

\(y\)절편 \(k\) = 3

—

판별식 \(D\): —
해의 개수: —
해 \((x, y)\): —

질문연립방정식 \(x + y = 3\), \(x^2 + y^2 = 5\)를 만족하는 \((x, y)\)는 몇 쌍일까? 일차방정식끼리의 연립과는 무엇이 다를까?
복원연립일차방정식은 한 식을 \(y\) = (\(x\)의 식)으로 고쳐 다른 식에 대입하면 미지수가 하나인 방정식이 된다. 또 이차방정식 \(ax^2 + bx + c = 0\)의 실근의 개수는 판별식 \(D = b^2 - 4ac\)의 부호로 정해진다.
설명미지수가 2개이고 차수가 가장 높은 식이 이차인 연립방정식을 연립이차방정식이라고 한다. 일차식이 하나 있으면 그 식을 \(y = mx + k\)로 고쳐 이차식에 대입한다. 그러면 \(x\)에 대한 이차방정식이 되고, 그 근마다 \(y = mx + k\)로 \(y\)를 하나씩 구한다. 질문의 식은 \(x^2 + (3 - x)^2 = 5\), 곧 \(2x^2 - 6x + 4 = 0\)이므로 \(x = 1\), 2이고 해는 \((1, 2)\), \((2, 1)\)이다.
연결각 식을 만족하는 점을 모으면 그래프가 된다. 그래서 연립방정식의 실수 해는 두 그래프의 교점이고, 대입해서 얻은 이차방정식의 판별식이 \(D > 0\)이면 교점 2개, \(D = 0\)이면 1개(접함), \(D < 0\)이면 0개이다. 이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계에서 본 것과 같은 판단이다.
적용세 곡선마다 \(m\)과 \(k\)를 움직여 해가 2개, 1개, 0개인 경우를 찾아보자. 원에서 \(m = 2\)일 때 접하는 \(k\)도 찾아보자. \(xy = 2\)에서 \(m = 0\)으로 두면 대입한 식이 일차식이 되는 것도 확인할 수 있다.
판단\(x\)만 구하고 끝내면 안 된다. 연립방정식의 해는 \((x, y)\) 순서쌍이므로, \(y\)는 반드시 일차식에 대입해 짝을 맞춘다. 이차식에 대입하면 \(y\)가 두 개씩 나와 해가 아닌 쌍이 섞이기 때문이다. 또 대입한 식의 이차항 계수가 0이 되면 판별식을 쓸 수 없으니 일차방정식으로 따로 풀어야 한다.

확인조건이 달라지면

연립방정식 \(x - y = 1\), \(x^2 + y^2 = 13\)의 해는?

탐구 2

이차식 두 개로 된 연립방정식은 어떻게 풀까?

연립이차방정식 · 인수분해로 나누기

② \(x^2 + y^2 = c\)에서 \(c\) = 10

—

경우 1: —
경우 2: —

질문\(x^2 - 3xy + 2y^2 = 0\)과 \(x^2 + y^2 = 10\)은 둘 다 이차식이라 한 식을 \(y\) = (\(x\)의 일차식)으로 고칠 수 없다. 그렇다면 미지수를 어떻게 줄일까?
복원\(AB = 0\)이면 \(A = 0\) 또는 \(B = 0\)이다. 또 \(x^2 - 3xy + 2y^2\)은 \(x\)에 대한 이차식으로 보고 인수분해할 수 있다. 일차식과 이차식의 연립은 대입으로 푼다.
설명첫째 식은 \(x^2 - 3xy + 2y^2 = (x - y)(x - 2y) = 0\)이므로 \(x = y\) 또는 \(x = 2y\)이다. 그러면 처음 연립방정식은 '일차식과 이차식'으로 된 연립방정식 두 개로 나뉜다. \(x = y\)를 둘째 식에 넣으면 \(2y^2 = 10\)이라 \(y = \pm\sqrt{5}\)이고, \(x = 2y\)를 넣으면 \(5y^2 = 10\)이라 \(y = \pm\sqrt{2}\), \(x = \pm2\sqrt{2}\)이다. 따라서 해는 모두 4쌍이다.
연결상수항이 없는 이차식 \(ax^2 + bxy + cy^2 = 0\)이 인수분해되면 그 그래프는 원점을 지나는 직선 두 개이다. 그래서 이 연립방정식의 해는 '직선 두 개와 원의 교점'이고, 대입법으로 푸는 연립방정식을 두 번 푸는 셈이다.
적용'다음 단계'를 눌러 인수분해, 경우 1, 경우 2를 차례로 따라가 보자. \(c\)를 바꾸면 해의 개수는 그대로이고 위치만 달라진다. 두 번째 식 \(x^2 - y^2 = 0\)에서 \(c = 18\)로 두면 해가 정수가 되니, 그 해를 직접 확인해 보자.
판단경우 하나만 풀고 멈추면 해의 절반을 잃는다. '\(A = 0\) 또는 \(B = 0\)'이므로 두 경우의 해를 모두 모아야 한다. 또 두 이차식 가운데 어느 것도 인수분해되지 않으면 이 방법은 쓸 수 없으며, 교육과정에서는 한 식이 간단히 인수분해되는 경우만 다룬다.

확인조건이 달라지면

연립방정식 \(x^2 - 4y^2 = 0\), \(x^2 + y^2 = 20\)의 해를 모두 고르면?

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