행렬의 뜻

표로 정리한 자료는 가로줄과 세로줄의 번호만 알면 어느 칸이든 가리킬 수 있습니다. 수를 직사각형 모양으로 늘어놓은 것을 행렬이라 하고, 이렇게 정리하면 판매 기록이나 도로망처럼 서로 다른 자료를 같은 방법으로 다룰 수 있습니다. 이 절에서는 행, 열, 성분이라는 말을 정확히 익히고, 실제 상황을 행렬로 옮겨 봅니다.

먼저 알면 좋은 것 표와 그래프로 자료 정리하기 순서쌍과 좌표 함수의 뜻

본문

행렬의 뜻

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세 도시 사이의 직행 버스 노선을 기록하려 한다. 어느 도시에서 어느 도시로 가는 노선이 몇 개인지 문장으로 적으면 길고 헷갈린다. 수를 가로와 세로로 늘어놓은 표 하나로 정리하면, 그 표에서 무엇을 바로 읽을 수 있을까?

노선 바꾸기

그림 1. \(i\)번 도시에서 \(j\)번 도시로 가는 노선의 수를 \(i\)행 \(j\)열에 적으면, 노선도 전체가 수 9개의 행렬 하나로 정리된다.

먼저 알아야 할 것중학교에서 자료를 표로 정리하던 경험, 좌표에서 '가로 먼저, 세로 다음'으로 위치를 말하는 방법.

4.1.1표에서 머리글을 지우면

그림 1의 왼쪽은 세 도시 1, 2, 3 사이의 노선도이다. 1에서 2로 가는 노선이 2개, 2에서 3으로 가는 노선이 1개처럼 화살표마다 수가 붙어 있다. 오른쪽에는 같은 정보를 표로 옮겼다. 출발 도시를 줄(가로)에, 도착 도시를 칸(세로)에 두고, 만나는 자리에 노선의 수를 적었다.

표에서 '출발', '도착' 같은 머리글을 지우고 괄호로 묶으면 수만 직사각형 모양으로 남는다. 이렇게 수나 문자를 직사각형 모양으로 배열하고 괄호로 묶은 것을 행렬이라 하고, 그 안의 각 수를 성분이라 한다. 머리글은 사라졌지만 자리가 뜻을 가지고 있으므로 정보는 그대로 남는다.

4.1.2행, 열, 그리고 자리

정의 4.1.1 행렬의 행, 열, 성분

행렬의 가로줄을 행, 세로줄을 열이라 하고, 위에서부터 제1행, 제2행, …, 왼쪽에서부터 제1열, 제2열, …이라 한다. 행이 \(m\)개, 열이 \(n\)개인 행렬을 \(m \times n\) 행렬이라 하고, 제\(i\)행과 제\(j\)열이 만나는 자리의 성분을 \((i, j)\) 성분이라 하며 \(a_{ij}\)로 나타낸다.

그림 1의 행렬은 \(3 \times 3\) 행렬이고, \((1, 2)\) 성분은 1번 도시에서 2번 도시로 가는 노선의 수이다. 즉 행 번호가 출발, 열 번호가 도착이다. 슬라이더로 노선도를 바꾸면 행렬의 성분도 함께 바뀌는데, 화살표 하나가 언제나 정확히 성분 하나에 대응한다.

행과 열의 개수가 같은 행렬을 정사각행렬이라 한다. 가령 \(n \times n\) 행렬을 \(n\)차 정사각행렬이라 부른다. 성분의 개수가 \(m \times n\)개라는 것은 곱의 법칙으로 바로 보인다. 행이 \(m\)개이고 각 행에 성분이 \(n\)개씩 있기 때문이다.¹

그림 2. \(2 \times 3\) 행렬에서 성분의 자리는 '몇째 행, 몇째 열'의 순서쌍으로 정해진다.

4.1.3두 행렬이 같다는 것

행렬은 자리가 뜻을 가지므로, 두 행렬이 같으려면 모양이 같고 같은 자리의 성분이 모두 같아야 한다. 같은 수 6개를 담고 있어도 \(2 \times 3\) 행렬과 \(3 \times 2\) 행렬은 서로 다르다. 노선도로 말하면 '1에서 2로 2개'와 '2에서 1로 2개'는 다른 정보이기 때문이다.

4.1.4예제 풀이

예제 4.1.2

\(2 \times 3\) 행렬 \(A\)의 \((i, j)\) 성분이 \(a_{ij} = 2i - j\)일 때 \(A\)를 구하여라. 또 \(\begin{pmatrix} x + y & 3 \\ 1 & x - y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 3 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\)일 때 \(x\), \(y\)를 구하여라.

첫째 행은 \(i = 1\)이므로 \(a_{11} = 1\), \(a_{12} = 0\), \(a_{13} = -1\)이다. 둘째 행은 \(i = 2\)이므로 \(a_{21} = 3\), \(a_{22} = 2\), \(a_{23} = 1\)이다. 따라서 \(A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}\)이다. 같은 행에서는 열 번호가 하나 커질 때마다 성분이 1씩 작아지는데, 식 \(2i - j\)에서 \(j\)의 계수가 \(-1\)이기 때문이다.

두 번째 질문은 두 행렬이 같다는 조건이다. 같은 자리의 성분이 같아야 하므로 \(x + y = 7\), \(x - y = 1\)이다. 두 식을 더하면 \(2x = 8\)이므로 \(x = 4\), \(y = 3\)이다. 넣어 보면 \((1, 1)\) 성분이 7, \((2, 2)\) 성분이 1로 맞는다. 행렬의 등식 하나가 연립방정식 여러 개를 한꺼번에 담고 있는 셈이다. 아래 탐구 카드에서 성분의 자리를 직접 찾고 노선도를 행렬로 바꾸어 보자.

\(1 \times n\) 행렬을 행벡터, \(m \times 1\) 행렬을 열벡터라고도 부른다. 벡터는 진로선택 과목인 기하에서 다룬다.

마무리

행렬은 수를 직사각형으로 늘어놓고 자리마다 뜻을 준 것이다. 제\(i\)행 제\(j\)열의 성분 \(a_{ij}\)가 하나의 정보를 담으므로, 두 행렬은 모양과 모든 성분이 같을 때만 같다. 처음 질문의 노선도는 행이 출발, 열이 도착인 \(3 \times 3\) 행렬로 정리되고, \((i, j)\) 성분을 읽으면 \(i\)에서 \(j\)로 가는 노선의 수가 바로 나온다.

탐구 1

표의 칸 하나를 어떻게 정확히 가리킬까?

행렬 · 행, 열, 성분

행의 수 \(m\) = 2

열의 수 \(n\) = 3

—

크기: —
성분의 개수: —
a_ij: —
a_ji: —

칸을 누르거나 끌어서 성분을 고른다(그림을 고른 뒤 화살표 키도 된다). 판매표는 행렬의 뜻을 보이려고 만든 가상 자료이다.

질문두 매점의 우유, 빵, 주스 판매량을 표로 적었다. "둘째 매점의 셋째 상품"처럼 칸 하나를 짧고 정확하게 가리키려면 어떻게 해야 할까?
복원좌표평면에서는 점 하나를 \((x, y)\)라는 순서쌍으로 가리켰고, 순서를 바꾸면 다른 점이 되었다. 표의 칸도 마찬가지로 가로줄 번호와 세로줄 번호 두 개로 가리킬 수 있다.
설명여러 개의 수나 문자를 직사각형 모양으로 배열하고 괄호로 묶은 것을 행렬이라 한다. 배열된 수 하나하나를 성분, 가로줄을 행, 세로줄을 열이라 하고, 행은 위에서부터 제1행, 제2행, …, 열은 왼쪽부터 제1열, 제2열, …로 부른다. 행이 \(m\)개, 열이 \(n\)개인 행렬을 \(m \times n\) 행렬이라 하고, 제\(i\)행과 제\(j\)열이 만나는 성분을 \((i, j)\) 성분이라 하며 \(a_{ij}\)로 쓴다. 행의 수와 열의 수가 같은 행렬은 정사각행렬이다. 두 행렬은 크기가 같고 대응하는 성분이 모두 같을 때 서로 같다고 한다.
연결\(a_{ij} = 2i - j\)처럼 성분을 \(i\), \(j\)의 식으로 주면 행렬 전체가 정해진다. 함수에서 \(x\)를 넣으면 \(y\)가 정해지는 것과 같은 생각이다. 그래서 지역별, 연도별 평균 기온이나 학급별, 과목별 점수처럼 두 기준으로 정리한 자료는 모두 행렬로 나타낼 수 있다.
적용판매표에서 둘째 매점의 주스 판매량이 몇 행 몇 열에 있는지 찾아보자. 이어서 \(a_{ij} = 2i - j\)를 고르고 \(m\), \(n\)을 바꾸면 성분의 개수가 언제나 \(m \times n\)개라는 것을 볼 수 있다. 같은 행렬에서 \(a_{12}\)와 \(a_{21}\)을 비교하고, \(a_{ij} = i + j\)에서는 두 값이 같아지는 것도 확인해 보자.
판단\(a_{ij}\)의 첫 번째 첨자는 행, 두 번째 첨자는 열이므로 \(a_{12}\)와 \(a_{21}\)은 대개 다른 성분이다. 또 \(2 \times 3\) 행렬과 \(3 \times 2\) 행렬은 성분의 개수가 6개로 같아도 크기가 다르므로 서로 같을 수 없다. 행렬은 수를 모아 둔 배열이지 하나의 수가 아니므로, 크기를 비교하는 부등호도 쓰지 않는다.

확인조건이 달라지면

\(2 \times 3\) 행렬 \(A\)의 \((i, j)\) 성분이 \(a_{ij} = 3i - j\)이다. \(A\)의 제2행에 있는 성분을 모두 더한 값은?

탐구 2

도로 지도를 수의 표로 바꿀 수 있을까?

행렬 · 실생활 표현

도로의 수: —
\(a_{ij} = a_{ji}\)?: —
가에서 나가는: —
가로 들어오는: —

두 마을 사이의 선을 누르면 도로가 바뀌고, 행렬의 칸을 누르면 그 성분이 바뀐다. 마을을 누르면 그 마을의 행과 열이 강조된다. 마을과 도로는 모식이다.

질문네 마을을 잇는 도로 지도가 있다. 그림 없이 수만으로 "어느 마을에서 어느 마을로 가는 도로가 몇 개인지"를 빠짐없이 전할 수 있을까?
복원행렬의 \((i, j)\) 성분 \(a_{ij}\)는 제\(i\)행과 제\(j\)열이 만나는 자리의 수이다. 그래서 행에 마을을, 열에도 같은 순서로 마을을 놓으면 칸 하나가 "출발 마을, 도착 마을" 한 쌍에 대응한다.
설명이제 \(a_{ij}\)를 "마을 \(i\)에서 마을 \(j\)로 바로 가는 도로의 수"로 정하면 도로망 전체가 \(4 \times 4\) 행렬 하나로 나타난다. 같은 마을끼리 잇는 도로는 없으므로 왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 가는 대각선의 성분은 모두 0이다. 또 양방향 도로는 \(i\)에서 \(j\)로도, \(j\)에서 \(i\)로도 갈 수 있으므로 \(a_{ij} = a_{ji}\)가 되어 행렬이 대각선을 기준으로 대칭이다. 제\(i\)행의 합은 마을 \(i\)에서 나가는 도로의 수이고, 제\(j\)열의 합은 마을 \(j\)로 들어오는 도로의 수이다.
연결노선도, 친구 관계, 항공편처럼 "무엇과 무엇이 이어져 있는가"를 나타내는 자료는 이런 정사각행렬로 정리한다. 반면 지역별, 연도별 강수량이나 재난 피해 건수처럼 행과 열의 기준이 서로 다른 자료는 직사각형 행렬로 정리한다. 행렬로 바꾸어 두면 컴퓨터가 자료를 저장하고 계산하기 쉽다.
적용양방향 도로에서 가와 다 사이 선을 눌러 도로를 0개, 1개, 2개로 바꾸면 행렬의 대칭인 두 칸이 함께 바뀐다. 일방통행으로 바꾼 뒤 한쪽 방향만 남기면 대칭이 깨지는 것도 확인해 보자. 마을 다를 눌러 나가는 도로와 들어오는 도로의 수가 행의 합, 열의 합과 같은지도 보자.
판단양방향 도로망에서 성분을 모두 더하면 도로 하나를 \(a_{ij}\)와 \(a_{ji}\)로 두 번 세게 되므로, 도로의 수는 성분의 합의 절반이다. 일방통행 도로망에서는 성분의 합이 곧 도로의 수이다. 또 행렬은 도로의 길이나 실제 위치를 담지 않는다. 어떤 정보를 성분으로 정했는지에 따라 같은 지도도 다른 행렬이 된다.

확인조건이 달라지면

세 마을 P, Q, R 사이의 일방통행 도로를 행렬 011001100로 나타냈다. 행과 열의 순서는 P, Q, R이고, \(a_{ij}\)는 \(i\)에서 \(j\)로 가는 도로의 수이다. 옳은 것은?

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