자료 수집과 표·그래프 변환
본문공을 떨어뜨리며 0.2초마다 떨어진 거리를 연구 일지에 적었다. 표의 숫자를 시간–거리 그래프로 그리니 점들이 위로 휘어진 곡선을 그렸다. 곡선은 '시간이 지날수록 빨라진다'는 것만 말해 줄 뿐, 정확히 어떤 관계인지는 알려 주지 않는다. 그런데 가로축을 시간 대신 시간의 제곱으로 바꾸어 그렸더니 점들이 곧은 직선 위에 늘어섰다. 그 직선의 기울기에서 무엇을 알 수 있을까? 자료를 표와 그래프로 정리할 때는 무엇을 고려해야 할까?
2.4.1표와 그래프
연구 일지에 날마다 적은 측정값은 먼저 표로 정리한다. 표에는 제목, 변인의 이름과 단위, 반복 측정값과 평균을 적고, 조작 변인을 왼쪽 열에, 종속 변인을 오른쪽 열에 둔다. 그다음 변인 사이의 관계를 보려고 그래프로 그린다. 연속적인 두 양의 관계는 꺾은선그래프나 산점도로, 범주끼리의 비교는 막대그래프로 그린다. 조작 변인을 가로축에, 종속 변인을 세로축에 두고, 반복 측정의 흩어짐은 오차 막대로 나타낸다.
두 양이 \(y = kx^n\)의 관계라면, 가로축을 \(x^n\)으로 바꾸어 그리면 기울기가 \(k\)인 직선이 된다. \(n\)을 모를 때는 \(\log y\)를 \(\log x\)에 대해 그리면 기울기가 \(n\)인 직선이 된다. 직선은 눈으로 판단하기 쉽고, 기울기와 절편이 물리량의 의미를 가진다.
그림 1에서 지수를 바꾸어 보자. 가로축이 시간이면(\(p = 1\)) 점들이 휘어 있고, 직선을 그어도 끝에서 어긋난다. \(p = 2\)로 시간의 제곱을 가로축으로 쓰면 점들이 직선 위에 늘어서고, 상관 계수가 1에 가장 가깝다. 이 직선의 기울기 약 4.9 m/s²는 \(\dfrac{1}{2}g\)이므로, 중력 가속도가 약 9.8 m/s²임을 알 수 있다. \(p = 3\)으로 더 키우면 거꾸로 아래로 휜다. 즉 알맞은 변환은 자료 속의 법칙을 직선이라는 가장 읽기 쉬운 모양으로 드러낸다.1
2.4.2같은 자료, 다른 그림
같은 자료라도 어떻게 그리느냐에 따라 보이는 것이 달라진다. 세로축을 0이 아닌 곳에서 시작하면 작은 차이가 커 보이고, 로그 눈금은 몇 배씩 차이 나는 값들을 한눈에 보여 준다. 반복 측정이 있으면 평균만 점으로 찍지 말고 흩어짐도 함께 보여야 차이가 의미 있는지 판단할 수 있다. 그리고 축의 이름과 단위, 그래프의 제목, 무엇을 나타낸 오차 막대인지를 반드시 적는다. 그래프는 자료를 꾸미는 것이 아니라, 읽는 사람이 관계를 정확히 보도록 돕는 도구이다.
2.4.3예제 풀이
공을 떨어뜨린 뒤 0.4 s, 0.8 s, 1.2 s에 낙하 거리가 0.79 m, 3.10 m, 7.06 m였다. 가로축을 \(t^2\)으로 그렸을 때의 기울기를 처음과 끝 두 점으로 구하고, 중력 가속도를 구하여라. \(\log\)–\(\log\) 그래프로 그리면 기울기는 얼마인가?
\(t^2\)은 0.16 s²와 1.44 s²이므로 기울기는 \((7.06 - 0.79) \div (1.44 - 0.16) = 6.27 \div 1.28 \approx 4.90\) m/s²이다. 이것이 \(\dfrac{1}{2}g\)이므로 \(g \approx 9.8\) m/s²이다.
\(\log\)–\(\log\) 그래프의 기울기는 \(\dfrac{\log 7.06 - \log 0.79}{\log 1.2 - \log 0.4} = \dfrac{0.849 - (-0.102)}{0.079 - (-0.398)} = \dfrac{0.951}{0.477} \approx 2.0\)이다. 지수 2가 나와, 거리가 시간의 제곱에 비례한다는 것을 지수를 미리 몰라도 알아냈다. 즉 축을 바꾸는 것은 자료를 왜곡하는 것이 아니라, 관계의 꼴과 그 속의 상수를 함께 읽어 내는 방법이다. 그래서 연구 보고서의 그래프는 자료가 직선으로 드러나는 축을 골라 그린다.
아래 탐구 카드에서 연구 일지의 자료를 표로 정리하고, 관계가 잘 드러나는 그래프로 바꾸어 보자.
- 케플러는 행성의 공전 주기와 궤도 반지름 자료를 오래 들여다본 끝에 주기의 제곱이 반지름의 세제곱에 비례한다는 법칙을 찾았다. 오늘날이라면 log–log 그래프의 기울기 1.5로 바로 알아낼 수 있다.
연구 일지의 측정값은 변인과 단위를 밝힌 표로 정리하고, 관계를 보기 위해 알맞은 그래프로 그린다. 두 양이 거듭제곱 관계이면 가로축을 그 거듭제곱으로, 지수를 모르면 log–log로 바꾸어 직선을 만들고, 그 기울기와 절편에서 물리량을 읽는다. 그래서 처음 질문의 휘어진 곡선은 가로축을 시간의 제곱으로 바꾸면 직선이 되고, 그 기울기의 두 배가 중력 가속도를 알려 준다.