구면 거울의 상

숟가락 안쪽을 얼굴에서 멀리 들고 보면 얼굴이 작고 거꾸로 비친다. 그런데 숟가락을 코앞까지 가져오면 어느 순간 얼굴이 크고 바로 선 모습으로 바뀐다. 광학대 위에서 초점 거리 10 cm인 오목 거울 앞에 촛불을 놓고 거리를 바꾸어 보니, 30 cm에서는 스크린에 작은 거꾸로 선 상이 잡혔지만 5 cm에서는 스크린을 어디에 두어도 상이 잡히지 않았다. 두 모습을 하나의 식으로 묶을 수 있을까? 스크린에 잡히지 않는 상의 위치는 어떻게 잴까?

물체 거리 a (cm)

4.2.1하나의 식, 두 모습

오목 거울은 축에 나란히 들어온 빛을 거울 앞의 한 점, 곧 초점에 모은다. 물체의 한 점에서 나온 빛들이 거울에서 반사되어 다시 한 점에 모이면 그곳에 실상이 생기고, 스크린을 두면 상이 잡힌다. 물체가 초점보다 가까우면 반사된 빛들이 모이지 않고 퍼져 나간다. 이 빛을 거울 쪽으로 거꾸로 이으면 거울 뒤의 한 점에서 나온 것처럼 보이는데, 이것이 허상이다. 허상은 빛이 실제로 모이는 곳이 아니어서 스크린에 잡히지 않지만, 눈으로는 거울 속에 보인다.

그림 1에서 물체 거리를 바꾸어 보자. 물체가 멀리 있으면 상은 초점 근처에 작게 생긴다. 물체가 \(2f = 20\) cm에 오면 상도 20 cm에 같은 크기로 생기고, 초점에 가까워질수록 상이 멀어지며 커진다. 물체가 초점을 지나 안쪽으로 들어오면 \(b\)가 음수로 바뀌어 상이 거울 뒤로 넘어가고, 바로 선 확대된 허상이 된다. 숟가락의 두 모습은 이 하나의 식이 \(a\)가 \(f\)보다 클 때와 작을 때 보여 주는 두 결과이다.¹

4.2.2허상의 위치 재기

허상의 위치는 시차가 없는 곳을 찾아 잰다. 거울 앞에 핀을 세우고, 거울 뒤에 보이는 핀의 상과 거울 위로 직접 보이는 다른 핀을 나란히 보며 머리를 좌우로 움직인다. 두 핀이 같은 거리에 있으면 머리를 움직여도 둘이 함께 움직이고, 거리가 다르면 서로 어긋난다. 어긋남이 사라지는 곳에 둔 핀의 위치가 허상의 위치이다. 실상은 스크린을 앞뒤로 움직여 가장 선명한 곳을 찾되, 그 범위의 양 끝을 읽어 가운데를 쓰면 판단의 흔들림이 준다.

4.2.3예제 풀이

30 cm이면 \(1/b = 1/10 - 1/30 = 2/30\)이므로 \(b = 15\) cm이다. 배율은 \(-15/30 = -0.5\)이므로 높이 1 cm의 거꾸로 선 실상이 거울 앞 15 cm에 생긴다. 5 cm이면 \(1/b = 1/10 - 1/5 = -1/10\)이므로 \(b = -10\) cm이다. 배율은 \(-(-10)/5 = 2\)이므로 높이 4 cm의 바로 선 허상이 거울 뒤 10 cm에 생긴다.

허상 측정에서 \(b = -9.9\) cm이므로 \(1/a + 1/b = 1/5.0 - 1/9.9 = 0.200 - 0.101 = 0.099\)이고, \(f \approx 10.1\) cm이다. 실상 측정의 9.95 cm와 10.1 cm와 같은 범위에 있다. 허상의 거리를 음수로 넣는 부호 약속 덕분에 실상과 허상이 같은 식으로 처리되었다. 그러므로 \(1/b\)를 \(1/a\)에 대해 그리면 실상과 허상의 점이 모두 기울기 \(-1\), 절편 \(1/f\)인 한 직선 위에 놓인다.

아래 탐구 카드에서 오목 거울과 볼록 거울의 상을 광학대 위에서 찾고, 스크린에 잡히지 않는 허상의 위치를 시차로 재 보자.

1. 1668년 뉴턴은 렌즈 대신 오목 거울로 빛을 모으는 반사 망원경을 만들었다. 렌즈는 색마다 굴절 정도가 달라 상의 가장자리에 무지개 빛 번짐이 생기지만, 거울의 반사는 모든 색에 똑같이 일어나 이 문제가 없다. 지금의 큰 천체 망원경은 대부분 반사 망원경이다.