렌즈 방정식

광학대에 촛불과 스크린을 60 cm 떨어뜨려 고정하고, 그 사이에서 볼록 렌즈를 밀어 보았다. 선명한 상이 맺히는 곳이 두 군데 있었다. 촛불에서 12.8 cm일 때는 크게, 47.2 cm일 때는 작게 맺혔다. 렌즈 받침대의 눈금이 렌즈의 실제 가운데와 조금 어긋나 있어서 물체 거리를 정확히 알 수 없는데, 이 두 위치만으로 초점 거리를 구할 수 있을까? 그리고 스크린에 상을 맺지 못하는 오목 렌즈의 초점 거리는 어떻게 잴까?

물체와 스크린 사이 (cm)

4.4.1두 위치의 대칭

얇은 렌즈의 방정식은 \(1/a + 1/b = 1/f\)이다. 물체와 스크린 사이 거리 \(D = a + b\)를 고정하면, \(a\)와 \(b\)를 서로 바꾸어도 식이 그대로 성립한다. 그래서 렌즈를 물체 쪽에서 \(a\)인 곳에 두어도, \(b\)인 곳에 두어도 선명한 상이 맺힌다. 한 위치에서는 상이 확대되고 다른 위치에서는 같은 비율로 축소된다. 두 위치 사이의 거리를 \(d\)라 하면 \(b - a = d\)이고 \(a + b = D\)이므로, \(a\)와 \(b\)를 \(D\)와 \(d\)로 나타낼 수 있다.

\(a = (D - d)/2\), \(b = (D + d)/2\)를 렌즈 방정식에 넣으면 \(\dfrac{1}{f} = \dfrac{a + b}{ab} = \dfrac{4D}{D^2 - d^2}\)이 되어 정리를 얻는다. 이 방법은 렌즈 위치 두 곳 사이의 거리 \(d\)만 쓴다. 렌즈 받침대의 눈금이 렌즈 가운데와 어긋나 있어도, 같은 받침대로 두 번 읽은 차에서 그 어긋남이 지워진다. 그림 1에서 거리를 줄여 보면, \(D\)가 \(4f = 40\) cm에 가까워질수록 두 위치가 가운데로 모이고, 40 cm보다 짧으면 선명한 상이 맺히는 곳이 없다.¹

4.4.2오목 렌즈는 짝을 지어

오목 렌즈는 빛을 퍼뜨리므로 혼자서는 스크린에 상을 맺지 못한다. 그래서 초점 거리를 아는 볼록 렌즈와 맞붙여 하나의 렌즈로 만든 뒤, 합성 렌즈의 초점 거리를 잰다. 얇은 두 렌즈를 맞붙이면 굴절 능력, 곧 초점 거리의 역수가 더해진다. 오목 렌즈의 초점 거리는 음수이므로, 볼록 렌즈의 굴절 능력이 더 커야 합성 렌즈가 빛을 모아 상을 맺는다. 합성 렌즈의 초점 거리를 베셀의 방법으로 재면, 두 렌즈의 두께 때문에 가운데를 정하기 어려운 문제도 함께 피할 수 있다.

4.4.3예제 풀이

\(d = 47.2 - 12.8 = 34.4\) cm이므로 \(f = (60.0^2 - 34.4^2)/(4 \times 60.0) = (3600 - 1183)/240 \approx 10.1\) cm이다. 렌즈 받침대 눈금의 어긋남은 두 위치의 차에서 지워졌으므로 이 값에 들어 있지 않다.

합성 렌즈는 \(D = 120.0\) cm, \(d = 77.4 - 42.6 = 34.8\) cm이므로 \(f = (14\,400 - 1211)/480 \approx 27.5\) cm이다. 맞붙인 렌즈의 굴절 능력은 더해지므로 \(1/27.5 = 1/10.1 + 1/f_2\)이고, \(1/f_2 = 0.0364 - 0.0990 = -0.0626\)에서 \(f_2 \approx -16.0\) cm이다. 음수는 빛을 퍼뜨리는 오목 렌즈라는 뜻이다. 즉 혼자서는 상을 맺지 못하는 렌즈도 상을 맺는 렌즈와 짝을 지으면 잴 수 있고, 두 위치의 차를 쓰는 방법은 위치를 정하기 어려운 문제를 피하게 해 준다.

아래 탐구 카드에서 광학대 위에서 렌즈를 옮겨 선명한 상이 맺히는 두 위치를 찾고, 볼록 렌즈와 오목 렌즈의 초점 거리를 재 보자.

1. 이 방법은 19세기 독일의 천문학자 베셀이 정리한 것으로 알려져 있다. 그는 별까지의 거리를 처음 재는 등 정밀 측정으로 유명했는데, 측정에서 위치를 정하기 어려운 기준점을 피하고 차를 재는 생각을 여러 곳에 썼다.