빛과 물질의 이중성

본문

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금속에 빛을 비추면 전자가 튀어나온다. 빛이 파동이라면 밝은 빛일수록 에너지가 커서 전자가 더 빨리 튀어나와야 한다. 그런데 실험해 보니 아무리 밝은 빨간빛도 나트륨에서 전자를 떼어 내지 못했고, 아주 희미한 보랏빛은 곧바로 전자를 떼어 냈다. 무엇이 잘못된 것일까?

빛의 파장 (nm) 빛의 세기 (상댓값)

그림 1. 나트륨(일함수 2.3 eV). 파장이 약 540 nm보다 길면 세기와 상관없이 전자가 나오지 않는다. 세기는 전자의 수만 바꾸고, 전자의 최대 운동 에너지는 파장만으로 정해진다.

먼저 알아야 할 것빛의 간섭(빛의 간섭), 운동 에너지와 운동량, 전위차와 전자볼트(전기장과 전위차).

3.3.1광전 효과와 광자

1905년 아인슈타인은 빛이 \(hf\)의 에너지를 가진 알갱이, 곧 광자의 흐름이라고 보면 이 실험이 설명된다고 했다. 여기서 \(f\)는 빛의 진동수이고 \(h = 6.6 \times 10^{-34}\ \text{J·s}\)는 플랑크 상수이다. 전자 하나는 광자 하나를 통째로 흡수하며, 그 에너지가 전자를 금속에 붙잡아 두는 에너지보다 작으면 전자는 떨어져 나오지 못한다.

정리 3.3.1 광전 효과

금속에서 전자를 떼어 내는 데 필요한 최소 에너지를 일함수 \(W\)라 하면, 튀어나온 전자의 최대 운동 에너지는 \[E_k = hf - W\] 이다. \(hf < W\)이면 빛이 아무리 세도 전자가 나오지 않는다.

빛의 세기를 키우면 광자의 수가 늘어날 뿐 광자 하나의 에너지는 그대로이다. 그래서 세기는 튀어나오는 전자의 수를 바꾸고, 전자의 빠르기는 바꾸지 못한다. 그림 1에서 파장과 세기를 따로 바꾸어 이 차이를 확인해 보자. 간섭에서는 파동처럼, 광전 효과에서는 입자처럼 행동하는 빛의 성질을 빛의 이중성이라 한다.

3.3.2물질파

드브로이는 거꾸로 전자 같은 입자도 파동의 성질을 가질 것이라 생각했다. 운동량 \(p = mv\)인 입자의 파장은 \(\lambda = \tfrac{h}{p}\)이다. 플랑크 상수가 아주 작으므로 공이나 사람의 파장은 측정할 수 없을 만큼 짧지만, 질량이 아주 작은 전자는 원자 사이 간격 정도의 파장을 가진다. 실제로 전자 빔을 결정에 쏘면 X선처럼 간섭무늬가 생긴다.¹

정리 3.3.2 드브로이 파장

\[\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}\]

그림 2. 전자의 파장은 가시광선보다 수천 배 짧아 원자 하나하나를 구별할 수 있지만, 야구공의 파장은 너무 짧아 파동성이 드러나지 않는다.

3.3.3예제 풀이

예제 3.3.3

일함수가 2.3 eV인 나트륨에 파장 400 nm인 보랏빛을 비춘다. 광자 한 개의 에너지와 튀어나오는 전자의 최대 운동 에너지를 eV 단위로 구하여라. 파장 600 nm인 주황빛을 비추면 어떻게 되는가? (\(hc \approx 1240\ \text{eV·nm}\))

광자 에너지는 \(E = hf = \dfrac{hc}{\lambda} = \dfrac{1240}{400} = 3.1\) eV이다. 최대 운동 에너지는 \(3.1 - 2.3 = 0.8\) eV이다.

주황빛의 광자 에너지는 \(\dfrac{1240}{600} \approx 2.07\) eV로 일함수 2.3 eV보다 작다. 따라서 빛을 아무리 세게 비추어도 전자는 나오지 않는다. 전자가 나오는 가장 긴 파장은 \(\dfrac{1240}{2.3} \approx 540\) nm이다.

디지털카메라의 이미지 센서는 광자가 반도체에서 전자를 떼어 내는 현상으로 빛을 전기 신호로 바꾸고, 전자 현미경은 전자의 짧은 파장으로 광학 현미경보다 훨씬 작은 것을 본다. 아래 탐구 카드에서 광전 효과와 전자 현미경, 콤프턴 산란을 직접 따져 보자.

1927년 데이비슨과 거머는 니켈 결정에 전자를 쏘아 특정한 방향으로 전자가 많이 튀어나오는 것을 관찰했다. 그 각도에서 계산한 파장은 드브로이 식의 값과 일치했다.

마무리

빛은 \(hf\)의 에너지를 가진 광자로 금속에서 전자를 떼어 내며, 전자의 최대 운동 에너지는 \(hf - W\)이다. 거꾸로 입자도 \(\lambda = \tfrac{h}{p}\)의 파장을 가진다. 그래서 처음 질문의 빨간빛은 광자 하나의 에너지가 일함수보다 작아 아무리 밝아도 전자를 떼어 내지 못하고, 희미한 보랏빛은 광자 하나만으로도 전자를 떼어 낸다.

탐구 1

빛을 세게 비추면 전자가 더 빨리 튀어나올까?

광전 효과 · 광자

금속

파장 λ = 650 nm 빛의 세기 = 60%

광자 하나의 에너지 hf: —
전자의 최대 운동 에너지: —
정지 전압: —

일함수는 다결정 표면의 대표값으로, 표면 상태에 따라 0.1~0.2 eV쯤 달라진다. 광자가 전자를 떼어 낼 확률과 전자 속력의 퍼짐은 모식이다.

질문금속판에 빛을 비추면 전자가 튀어나온다. 그런데 나트륨에 빨간 빛은 아무리 세게 비춰도 전자가 나오지 않고, 약한 자외선을 비추면 곧바로 나온다. 왜일까?
복원파동이 실어 나르는 에너지는 진폭, 곧 세기로 정해진다. 그래서 빛이 파동이기만 하다면 약한 빛이라도 오래 비추면 전자에 에너지가 쌓여 결국 튀어나와야 한다.
설명1905년 아인슈타인은 빛이 에너지 hf짜리 덩어리(광자)로 오고, 전자 하나는 광자 하나를 흡수한다고 보았다. 그러면 광자 하나의 에너지가 금속에서 전자를 떼어 내는 데 드는 최소 에너지(일함수 W)보다 작을 때, 광자가 아무리 많이 와도 전자는 나오지 못한다.
연결튀어나온 전자의 최대 운동 에너지는 K_max = hf − W이다. 오른쪽 직선들의 기울기는 금속과 관계없이 플랑크 상수 h로 같고, 가로축과 만나는 곳이 문턱 진동수 f₀ = W / h이다. 1916년 밀리컨이 정지 전압을 재어 이 관계를 확인했다.
적용파장을 700 nm 근처에서 천천히 줄여 나트륨에서 전자가 나오기 시작하는 파장을 찾아보자. 그 상태에서 세기를 바꾸면 무엇이 변하고 무엇이 그대로인지 보고, 구리로 바꾸면 가시광선으로 전자가 나오는지도 확인해 보자.
판단빛의 세기는 튀어나오는 전자의 수를, 진동수는 전자 하나의 에너지를 정한다. 그렇다고 빛이 입자이기만 한 것은 아니다. 얇은 막이나 이중 슬릿의 간섭은 파동으로만 설명되기 때문이다. 즉 빛은 퍼져 나갈 때는 파동처럼, 물질과 에너지를 주고받을 때는 광자처럼 행동한다.

확인조건이 달라지면

파란 빛(450 nm)을 칼륨에 비추었더니 전자가 튀어나왔다. 파장은 그대로 두고 빛의 세기만 2배로 하면?

읽기 2

디지털카메라는 빛을 어떻게 숫자로 저장할까?

읽기 · 광전 효과와 이미지 센서

필름 카메라는 빛에 반응하는 화학 물질로 사진을 남겼다. 그런데 스마트폰 카메라에는 필름이 없다. 빛은 어떻게 전기 신호가 되고, 다시 숫자로 저장될까? 여기서 빛의 입자성이 쓰인다.

1광자 하나가 전자 하나를 만든다

이미지 센서의 표면에는 수백만~수천만 개의 작은 광다이오드가 바둑판처럼 늘어서 있고, 하나가 사진의 한 화소(픽셀)가 된다. 광다이오드는 규소 같은 반도체로 만든다. 빛을 파동으로만 보면 약한 빛도 오래 비추면 에너지가 쌓여야 하지만, 실제로는 빛이 광자라는 알갱이로 들어와 광자 하나가 전자 하나를 떼어 낸다(광전 효과). 이때 광자 한 개의 에너지(hf)가 규소의 띠틈(약 1.1 eV)보다 커야 하므로, 규소 센서는 파장이 약 1100 nm보다 짧은 빛에만 반응한다.

노출 시간 동안 각 화소에는 들어온 광자 수에 비례하는 전자가 모인다. 전자의 양(전하)을 전압으로 바꾼 뒤 아날로그-디지털 변환기가 0~255 또는 0~4095 같은 숫자로 바꾸면, 사진은 화소마다 밝기를 적은 숫자의 표가 된다. 이 숫자를 메모리에 저장하고 전송하는 것이 영상 정보의 저장이다.

2색은 어떻게 구별하나

광다이오드는 광자의 수만 셀 뿐 색은 구별하지 못한다. 그래서 화소마다 빨강, 초록, 파랑 가운데 한 색만 통과시키는 필터를 씌운다. 사람 눈이 초록에 가장 민감해 초록 화소를 두 배로 둔다.

즉 한 화소는 한 가지 색의 밝기만 알기 때문에, 카메라 속 프로그램이 이웃 화소의 값을 이용해 각 화소의 나머지 두 색을 계산해 채운다.

3CCD와 CMOS

모인 전하를 읽는 방식은 두 가지이다. CCD는 각 화소에 모인 전하를 양동이 릴레이처럼 옆 화소로 차례차례 옮겨 한곳에서 읽는다. 잡음이 적어 천체 망원경과 과학 관측에 오래 쓰였고, 1969년에 이를 발명한 보일과 스미스는 2009년 노벨 물리학상을 받았다.

반면 CMOS 센서는 화소마다 증폭 회로가 있어 전하를 그 자리에서 전압으로 바꿔 읽는다. 전력을 적게 쓰고 빠르게 읽을 수 있어 스마트폰과 대부분의 디지털카메라가 이 방식을 쓴다.

판단“빛이 세면 전자가 더 큰 에너지로 튀어나와 사진이 밝아진다”는 오개념이다. 빛의 세기는 광자의 수를 바꾸고, 광자 하나의 에너지는 진동수가 정한다. 그래서 밝은 곳에서 화소 값이 커지는 것은 전자 하나하나의 에너지가 커져서가 아니라 모인 전자의 수가 많아서이다.

확인조건이 달라지면

파장 1500 nm인 적외선을 아주 세게 비추어도 보통의 규소 이미지 센서에는 거의 찍히지 않는다. 그 까닭으로 알맞은 것은?

탐구 3

틈이 많아질수록 무늬는 왜 더 날카로워질까?

단일 슬릿 회절 · 다중 슬릿과 회절 격자

파장 λ = 550 nm 틈의 개수 N = 2 틈 사이 간격 d = 4.0 μm · 틈의 폭 a = 1.0 μm

밝은 무늬(주극대) 각도 d sinθ = mλ: —
단일 슬릿 첫 어두운 무늬 a sinθ = λ: —

세기는 I ∝ [sin β / β]² × [sin(Nφ/2) / (N sin(φ/2))]² (β = πa sinθ/λ, φ = 2πd sinθ/λ)로 계산했다. 간격 슬라이더(위)와 폭 슬라이더(아래)가 따로 있고, 폭이 간격보다 크면 간격에 맞춰 줄인다.

질문CD나 DVD 뒷면을 빛에 비추면 무지개색이 보인다. 촘촘한 홈이 만든 무늬인데, 이중 슬릿 무늬보다 훨씬 선명하고 색이 잘 갈라진다. 틈이 많아지면 무엇이 달라질까?
복원두 틈을 지난 빛은 경로차가 파장의 정수배인 곳에서 보강 간섭해 밝은 무늬를 만든다(이중 슬릿). 그리고 파동은 좁은 틈을 지나면 뒤쪽으로 퍼지는데, 이를 회절이라 한다.
설명틈 하나도 폭이 있으면 틈의 여러 부분에서 나온 빛끼리 간섭해, 가운데가 가장 밝고 a sinθ = λ인 곳에서 처음 어두워지는 단일 슬릿 회절 무늬가 생기며, 틈이 좁을수록 무늬가 넓게 퍼진다. 같은 간격의 틈이 N개 있으면 d sinθ = mλ에서 모든 빛이 보강되어 밝은 무늬가 생기는데, N이 클수록 조금만 벗어나도 서로 상쇄되어 밝은 무늬가 가늘고 밝아진다. 이렇게 틈을 수천 개 새긴 것이 회절 격자이다.
연결회절 격자는 파장마다 밝은 무늬의 각도가 달라 빛을 정밀하게 나누므로, 분광기로 별빛이나 물질의 스펙트럼을 분석한다. 또 빛의 간섭은 레이저 간섭계로 나노미터 수준의 길이를 재고(중력파 검출기 LIGO), 물체에서 온 빛과 기준 빛의 간섭무늬를 기록해 입체 영상을 재현하는 홀로그램, 반도체 공정의 정밀 측정에도 쓰인다.
적용N을 1, 2, 5, 30으로 바꾸며 무늬를 비교하고, 밝은 무늬의 위치가 N에 따라 바뀌는지 보자. 그리고 파장을 바꾸면 무늬가 어떻게 움직이는지, 그래서 격자가 백색광을 어떻게 나누는지 설명해 보자.
판단간섭과 회절을 다른 현상으로 딱 나누기는 어렵다. 둘 다 파동의 중첩이며, 보통 몇 개의 파원이 겹치면 간섭, 연속된 파면의 여러 부분이 겹치면 회절이라고 부를 뿐이다. 그래서 실제 다중 슬릿 무늬에는 두 효과가 함께 나타난다.

확인조건이 달라지면

간격이 같은 회절 격자에 빨간빛과 보라색 빛을 함께 비추었다. 1차 밝은 무늬가 중앙에서 더 멀리 생기는 쪽은?

탐구 4

X선이 전자에 부딪혀 튕겨 나오면 왜 색(파장)이 바뀔까?

콤프턴 효과 · 광자의 운동량 · 입자성

산란각 θ = 90°

들어오는 X선 파장 = 71 pm

파장 변화 Δλ: —
나간 광자 파장: —
전자가 받은 에너지: —

Δλ = (h / mₑc)(1 − cos θ)이고, h / mₑc = 2.43 pm은 전자의 콤프턴 파장이다(1 pm = 10⁻¹² m). 71 pm은 콤프턴이 1923년 실험에 쓴 몰리브데넘 X선의 파장이고, 운동량 화살표 길이는 크기에 비례한다.

질문빛이 파동이라면 전자를 흔들어 같은 진동수의 빛을 다시 내보내야 한다. 그런데 콤프턴은 흑연에 X선을 쬐었을 때 비스듬히 튕겨 나온 X선의 파장이 원래보다 길어진 것을 발견했다. 왜일까?
복원광전 효과에서 빛은 에너지 E = hf인 알갱이(광자)로 행동했다. 그리고 광자는 질량이 없지만 운동량 p = h/λ를 가진다.
설명광자를 당구공처럼 생각해 정지한 전자와 충돌시키면, 에너지와 운동량이 모두 보존되어야 한다. 광자는 에너지 일부를 전자에 넘겨주고 튕겨 나가므로 에너지가 줄고 파장이 길어진다. 이렇게 계산하면 Δλ = (h/mc)(1 − cos θ)가 나오고, 이것이 실험과 정확히 맞았다.
연결파장 변화는 산란각에만 달려 있고 들어오는 파장과는 상관이 없으며, 최대 변화는 정반대로 튕길 때(θ = 180°)의 4.86 pm이다. 그래서 파장이 긴 가시광선(약 500,000 pm)에서는 변화가 너무 작아 보이지 않고, 파장이 짧은 X선과 감마선에서 뚜렷하다.
적용산란각을 0°에서 180°까지 바꾸며 파장 변화와 전자가 튀어 나가는 방향을 보자. 들어오는 파장을 2 pm(감마선)과 100 pm으로 바꾸면 Δλ는 같은데 전자가 받는 에너지는 크게 다른데, 그 까닭을 생각해 보고 세 운동량 화살표가 삼각형을 이루는지도 확인해 보자.
판단콤프턴 효과는 광전 효과와 함께 빛의 입자성을 보여 주는 대표 증거이지만, 빛이 "입자일 뿐"이라는 뜻은 아니다. 같은 X선이 결정에서 회절해 간섭무늬를 만드는 것은 파동성 때문이다. 즉 빛은 실험에 따라 두 성질을 모두 드러낸다.

확인조건이 달라지면

파장 10 pm인 X선과 50 pm인 X선을 같은 각도 60°로 산란시켰다. 파장 변화 Δλ는?

탐구 5

전자 현미경은 왜 광학 현미경보다 더 작은 것을 볼까?

물질파 · 분해능

점 사이 간격

전자의 가속 전압 V = —

전자의 파장 h/p: —
전자 현미경 분해능: —
광학 현미경 분해능: —

분해능은 0.61λ/NA로 어림했다. 광학 현미경은 초록빛 550 nm와 기름 담금 렌즈 NA 1.4로, 전자 현미경은 대물 조리개 반각 10 mrad로 둔 모식이며, 전자의 파장에는 상대론 보정을 넣었다.

질문광학 현미경은 배율을 아무리 높여도 바이러스를 또렷하게 보지 못한다. 그런데 전자 현미경은 원자 배열까지 본다. 차이는 어디에서 올까?
복원빛은 파동이라 렌즈 같은 구멍을 지나면 조금 퍼진다. 그래서 한 점의 상도 점이 아니라 작은 원 무늬가 된다.
설명두 점의 상이 서로 겹치면 구분할 수 없다. 구분할 수 있는 최소 간격(분해능)은 대략 0.61λ / NA로, 파장에 비례한다. 가시광선은 파장이 400~700 nm라서 아주 좋은 렌즈로도 약 200 nm가 한계이고, 배율을 높이면 흐린 상이 커질 뿐이다.
연결1924년 드브로이는 입자도 파장 λ = h / p를 가진다고 제안했고, 1927년 데이비슨과 거머가 전자 회절로 확인했다. 그런데 전압 V로 가속한 전자는 운동량이 커서, 100 kV에서 파장이 약 3.7 pm이다. 가시광선의 10만분의 1 정도이다.
적용‘100 nm’에서 두 현미경을 비교해 보자. 다음에는 ‘0.2 nm’를 고르고 가속 전압을 올리며, 원자 9개가 따로 보이기 시작하는 전압을 찾아보자.
판단전자 현미경의 분해능은 파장만으로 정해지지 않는다. 자기장으로 만든 전자 렌즈는 수차가 커서 아주 좁은 각도의 전자만 쓸 수 있고, 그래서 실제 분해능은 파장보다 수십 배 크다. 또 전자는 공기에 막히므로 시료를 진공에 두고 얇게 만들어야 하는데, 살아 있는 세포를 그대로 보기 어려운 까닭이다.

확인조건이 달라지면

전자 대신 양성자(질량이 전자의 약 1836배)를 같은 전압으로 가속하면, 드브로이 파장은 전자의 몇 배일까? (속력은 빛보다 충분히 느리다고 본다)