빛의 이중성과 물질파

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1927년 미국 벨 연구소의 데이비슨과 저머는 진공관 속에서 니켈 결정에 전자를 쏘고, 튀어나오는 전자의 방향을 재었다. 전자가 작은 공이라면 모든 방향으로 고르게 흩어져야 한다. 그런데 54 V로 가속한 전자는 50° 방향으로 유난히 많이 튀어나왔다. X선을 결정에 비출 때 생기는 회절과 똑같은 모습이었다. 입자라고 믿었던 전자가 어떻게 파동처럼 회절할까? 그 파장은 얼마일까?

가속 전압 (V)

그림 1. 전압 V로 가속한 전자의 드브로이 파장(두 축 모두 로그 눈금). 수십 V로 가속한 전자의 파장은 결정 속 원자 간격(회색 선)과 비슷하여, 결정이 회절 격자 노릇을 한다.

먼저 알아야 할 것파동의 간섭과 회절(회절과 분해능), 운동량과 에너지 보존, 광전 효과와 광자(물리학).

4.3.1빛의 이중성에서 물질파로

빛은 간섭과 회절을 하는 파동이지만, 광전 효과와 콤프턴 산란에서는 에너지 \(hf\)와 운동량 \(h/\lambda\)를 가진 알갱이(광자)처럼 행동한다. 1924년 드브로이는 이 관계를 뒤집어 보았다. 빛이 입자의 성질을 가진다면, 전자 같은 입자도 파동의 성질을 가지지 않을까? 그는 운동량 \(p\)인 입자에 파장 \(\lambda = h/p\)인 파동이 따른다고 제안했다. 이 파동을 물질파 또는 드브로이 파라 한다.

정리 4.3.1 전자의 드브로이 파장

질량 \(m\), 전하 \(e\)인 전자를 정지 상태에서 전압 \(V\)로 가속하면 운동 에너지가 \(eV\)이므로 운동량은 \(p = \sqrt{2meV}\)이다. 따라서 파장은 \[\lambda = \frac{h}{\sqrt{2meV}} \approx \frac{1.226}{\sqrt{V}}\ \text{nm}\]이다(\(V\)는 볼트 단위, 빛의 속력보다 충분히 느릴 때).

그림 1에서 가속 전압을 바꾸어 보자. 54 V이면 파장은 \(1.226 \div \sqrt{54} \approx 0.167\) nm이다. 니켈 결정의 원자 간격은 약 0.215 nm라서 전자의 파장과 비슷하다. 그래서 결정 표면의 원자 줄에서 반사된 전자 파동이 서로 간섭하여, 경로차가 파장의 정수배가 되는 방향에서만 세진다. \(d\sin\theta = \lambda\)에서 \(\sin\theta = 0.167 \div 0.215 \approx 0.78\), 곧 \(\theta \approx 51°\)로, 실험에서 잰 50°와 잘 맞는다.¹

4.3.2왜 공은 회절하지 않을까

모든 물체가 물질파를 가진다면, 야구공도 회절해야 한다. 그런데 질량 0.15 kg인 공이 40 m/s로 날면 운동량이 6 kg·m/s이므로 파장은 \(6.6 \times 10^{-34} \div 6 \approx 10^{-34}\) m이다. 이것은 원자핵보다도 \(10^{19}\)배 작아서, 이런 간격을 가진 틈은 세상에 없다. 그래서 일상의 물체에서는 파동의 성질이 드러나지 않는다. 반면 전자는 질량이 아주 작아 파장이 원자 크기만큼 길다. 전자 현미경은 이 짧은 파장 덕분에 빛보다 수천 배 작은 것을 본다.

그림 2. 물질파의 파장은 운동량에 반비례하여, 가벼운 입자에서만 원자 크기에 이른다.

4.3.3예제 풀이

예제 4.3.2

원자 간격 0.20 nm인 결정으로 전자 회절 실험을 한다. 전자의 파장을 원자 간격과 같은 0.20 nm로 하려면 몇 V로 가속해야 하는가? 그때 전자의 속력은 얼마인가? 전자의 질량은 \(9.1 \times 10^{-31}\) kg이다.

\(\lambda = 1.226/\sqrt V\) nm에서 \(\sqrt V = 1.226 \div 0.20 = 6.13\)이므로 \(V \approx 37.6\) V이다.

운동량은 \(p = h/\lambda = 6.63 \times 10^{-34} \div 2.0 \times 10^{-10} \approx 3.3 \times 10^{-24}\) kg·m/s이므로, 속력은 \(p/m = 3.3 \times 10^{-24} \div 9.1 \times 10^{-31} \approx 3.6 \times 10^6\) m/s이다. 빛의 속력의 약 1.2%이므로 상대성 효과를 무시해도 된다. 즉 건전지 몇십 개 정도의 전압으로 가속한 전자도 원자 간격만 한 파장을 가져 결정에서 회절한다. 그래서 전자 회절은 결정의 원자 배열을 알아내는 도구로 쓰인다.

아래 탐구 카드에서 고전 물리학이 뜨거운 물체의 빛을 설명하지 못한 까닭과, 니켈 결정에 쏜 전자가 특정한 각도로 몰려 나오는 까닭을 확인해 보자.

1906년 조지프 존 톰슨은 전자가 입자임을 밝힌 공로로 노벨상을 받았고, 1937년 그의 아들 조지 패짓 톰슨은 전자가 파동임을 회절 실험으로 보인 공로로 데이비슨과 함께 노벨상을 받았다.

마무리

빛이 입자의 성질을 가지듯, 운동량 \(p\)인 입자는 파장 \(h/p\)인 물질파의 성질을 가진다. 수십 V로 가속한 전자의 파장은 원자 간격과 비슷해 결정에서 회절하지만, 일상의 물체는 파장이 너무 짧아 파동의 성질이 드러나지 않는다. 그래서 처음 질문의 전자는 54 V로 가속되어 파장이 약 0.17 nm인 물질파가 되었고, 니켈 원자 줄에서 회절하여 50° 방향으로 몰려 나왔다.

탐구 1

빛을 세게 비추면 전자가 더 빨리 튀어나올까?

광전 효과 · 광자

금속

파장 λ = 650 nm 빛의 세기 = 60%

광자 하나의 에너지 hf: —
전자의 최대 운동 에너지: —
정지 전압: —

일함수는 다결정 표면의 대표값으로, 표면 상태에 따라 0.1~0.2 eV쯤 달라진다. 광자가 전자를 떼어 낼 확률과 전자 속력의 퍼짐은 모식이다.

질문금속판에 빛을 비추면 전자가 튀어나온다. 그런데 나트륨에 빨간 빛은 아무리 세게 비춰도 전자가 나오지 않고, 약한 자외선을 비추면 곧바로 나온다. 왜일까?
복원파동이 실어 나르는 에너지는 진폭, 곧 세기로 정해진다. 그래서 빛이 파동이기만 하다면 약한 빛이라도 오래 비추면 전자에 에너지가 쌓여 결국 튀어나와야 한다.
설명1905년 아인슈타인은 빛이 에너지 hf짜리 덩어리(광자)로 오고, 전자 하나는 광자 하나를 흡수한다고 보았다. 그러면 광자 하나의 에너지가 금속에서 전자를 떼어 내는 데 드는 최소 에너지(일함수 W)보다 작을 때, 광자가 아무리 많이 와도 전자는 나오지 못한다.
연결튀어나온 전자의 최대 운동 에너지는 K_max = hf − W이다. 오른쪽 직선들의 기울기는 금속과 관계없이 플랑크 상수 h로 같고, 가로축과 만나는 곳이 문턱 진동수 f₀ = W / h이다. 1916년 밀리컨이 정지 전압을 재어 이 관계를 확인했다.
적용파장을 700 nm 근처에서 천천히 줄여 나트륨에서 전자가 나오기 시작하는 파장을 찾아보자. 그 상태에서 세기를 바꾸면 무엇이 변하고 무엇이 그대로인지 보고, 구리로 바꾸면 가시광선으로 전자가 나오는지도 확인해 보자.
판단빛의 세기는 튀어나오는 전자의 수를, 진동수는 전자 하나의 에너지를 정한다. 그렇다고 빛이 입자이기만 한 것은 아니다. 얇은 막이나 이중 슬릿의 간섭은 파동으로만 설명되기 때문이다. 즉 빛은 퍼져 나갈 때는 파동처럼, 물질과 에너지를 주고받을 때는 광자처럼 행동한다.

확인조건이 달라지면

파란 빛(450 nm)을 칼륨에 비추었더니 전자가 튀어나왔다. 파장은 그대로 두고 빛의 세기만 2배로 하면?

탐구 2

X선이 전자에 부딪혀 튕겨 나오면 왜 색(파장)이 바뀔까?

콤프턴 효과 · 광자의 운동량 · 입자성

산란각 θ = 90°

들어오는 X선 파장 = 71 pm

파장 변화 Δλ: —
나간 광자 파장: —
전자가 받은 에너지: —

Δλ = (h / mₑc)(1 − cos θ)이고, h / mₑc = 2.43 pm은 전자의 콤프턴 파장이다(1 pm = 10⁻¹² m). 71 pm은 콤프턴이 1923년 실험에 쓴 몰리브데넘 X선의 파장이고, 운동량 화살표 길이는 크기에 비례한다.

질문빛이 파동이라면 전자를 흔들어 같은 진동수의 빛을 다시 내보내야 한다. 그런데 콤프턴은 흑연에 X선을 쬐었을 때 비스듬히 튕겨 나온 X선의 파장이 원래보다 길어진 것을 발견했다. 왜일까?
복원광전 효과에서 빛은 에너지 E = hf인 알갱이(광자)로 행동했다. 그리고 광자는 질량이 없지만 운동량 p = h/λ를 가진다.
설명광자를 당구공처럼 생각해 정지한 전자와 충돌시키면, 에너지와 운동량이 모두 보존되어야 한다. 광자는 에너지 일부를 전자에 넘겨주고 튕겨 나가므로 에너지가 줄고 파장이 길어진다. 이렇게 계산하면 Δλ = (h/mc)(1 − cos θ)가 나오고, 이것이 실험과 정확히 맞았다.
연결파장 변화는 산란각에만 달려 있고 들어오는 파장과는 상관이 없으며, 최대 변화는 정반대로 튕길 때(θ = 180°)의 4.86 pm이다. 그래서 파장이 긴 가시광선(약 500,000 pm)에서는 변화가 너무 작아 보이지 않고, 파장이 짧은 X선과 감마선에서 뚜렷하다.
적용산란각을 0°에서 180°까지 바꾸며 파장 변화와 전자가 튀어 나가는 방향을 보자. 들어오는 파장을 2 pm(감마선)과 100 pm으로 바꾸면 Δλ는 같은데 전자가 받는 에너지는 크게 다른데, 그 까닭을 생각해 보고 세 운동량 화살표가 삼각형을 이루는지도 확인해 보자.
판단콤프턴 효과는 광전 효과와 함께 빛의 입자성을 보여 주는 대표 증거이지만, 빛이 "입자일 뿐"이라는 뜻은 아니다. 같은 X선이 결정에서 회절해 간섭무늬를 만드는 것은 파동성 때문이다. 즉 빛은 실험에 따라 두 성질을 모두 드러낸다.

확인조건이 달라지면

파장 10 pm인 X선과 50 pm인 X선을 같은 각도 60°로 산란시켰다. 파장 변화 Δλ는?

탐구 3

고전 물리학은 왜 뜨거운 물체가 자외선을 무한히 낸다고 예측했을까?

흑체 복사 · 자외선 파탄과 플랑크의 양자 가설

흑체 온도 T = 5800 K

레일리–진스 (고전) 빈 근사

봉우리 파장 λ_max: —
전체 복사 σT⁴: —
500 nm에서 고전 ÷ 플랑크: —

세로축은 단위 파장당 복사 세기 B_λ의 상대값이며, 온도마다 플랑크 곡선의 봉우리에 맞춰 다시 그린다. 아래 그래프의 노란 띠는 지금 온도에서 가시광선(400~700 nm) 모드의 hf/kT 범위이다. h = 6.626×10⁻³⁴ J·s, k = 1.381×10⁻²³ J/K, σ = 5.670×10⁻⁸ W/(m²·K⁴).

질문1900년 무렵 레일리와 진스는 빛을 전자기파로, 열을 고전 통계 역학으로 다루어 흑체의 스펙트럼을 계산했다. 그 결과는 긴 파장에서는 실험과 잘 맞았지만, 짧은 파장으로 갈수록 끝없이 커져 전체 에너지가 무한대가 되었다. 어느 가정이 틀렸을까?
복원흑체는 들어오는 빛을 모두 흡수하는 물체이고, 같은 온도의 흑체는 재료와 관계없이 같은 스펙트럼을 낸다. 봉우리 파장은 온도에 반비례하고(빈 법칙 λ_maxT = 2.898×10⁻³ m·K), 전체 복사는 T⁴에 비례한다(슈테판–볼츠만 법칙). 고전 통계 역학의 에너지 등분배 법칙에 따르면 온도 T에서 진동 하나는 평균 에너지 kT를 가진다.
설명공동 속 전자기파는 벽 사이에 정상파 모드로 존재하고, 파장 λ~λ+dλ 사이 모드 수는 단위 부피당 8π/λ⁴·dλ이다. 짧은 파장일수록 모드가 많다. 모드마다 kT를 주면 에너지 밀도는 8πkT/λ⁴로 λ → 0에서 발산한다(자외선 파탄). 플랑크는 진동수 f인 모드의 에너지가 0, hf, 2hf, …로만 바뀐다고 가정했다. 볼츠만 인자 e^−nhf/kT로 평균을 내면 모드당 평균 에너지는 hf / (e^hf/kT − 1)이 된다. hf ≪ kT이면 kT로 돌아가고, hf ≫ kT이면 지수적으로 0이 되어 짧은 파장 모드는 ‘얼어붙은’ 셈이 된다.
연결두 식을 곱하면 플랑크 법칙 B_λ = (2hc²/λ⁵)/(e^hc/λkT − 1)이 된다. 이를 λ로 미분해 0으로 놓으면 hc/λ_maxkT ≈ 4.965, 곧 빈 법칙이 나오고, 모든 파장에 대해 적분하면 σ = 2π⁵k⁴/15c²h³인 슈테판–볼츠만 법칙이 나온다. 경험 법칙 둘이 상수 h 하나로 묶인 것이다. 아인슈타인은 이 에너지 덩어리 hf가 빛 자체의 성질(광자)이라고 보고 광전 효과를 설명했다.
적용태양 표면 온도에서 500 nm 모드의 hf/kT를 아래 그래프에서 읽어 보자. 그 모드는 고전적 기대값 kT의 몇 분의 1을 가지는가? 온도를 1000 K로 낮추면 가시광선 모드는 어떻게 되는가? 레일리–진스 곡선이 플랑크 곡선과 10 % 이내로 맞는 파장 영역이 온도를 올릴 때 어느 쪽으로 넓어지는지 확인해 보자.
판단플랑크는 처음에 에너지 양자화를 계산을 맞추기 위한 형식적 장치로 여겼고, 빛 자체가 알갱이라고 주장하지 않았다. 또 ‘흑체’는 이상화한 모형이다. 태양 스펙트럼은 흡수선과 대기층 구조 때문에 5800 K 흑체와 세부가 다르고, 실제 물체는 방출률이 1보다 작아 같은 온도의 흑체보다 덜 밝다.

확인조건이 달라지면

흑체의 온도를 3000 K에서 6000 K로 2배 올렸다. 파장 500 nm에서의 복사 세기는 대략 몇 배가 될까?

탐구 4

전자 현미경은 왜 광학 현미경보다 더 작은 것을 볼까?

물질파 · 분해능

점 사이 간격

전자의 가속 전압 V = —

전자의 파장 h/p: —
전자 현미경 분해능: —
광학 현미경 분해능: —

분해능은 0.61λ/NA로 어림했다. 광학 현미경은 초록빛 550 nm와 기름 담금 렌즈 NA 1.4로, 전자 현미경은 대물 조리개 반각 10 mrad로 둔 모식이며, 전자의 파장에는 상대론 보정을 넣었다.

질문광학 현미경은 배율을 아무리 높여도 바이러스를 또렷하게 보지 못한다. 그런데 전자 현미경은 원자 배열까지 본다. 차이는 어디에서 올까?
복원빛은 파동이라 렌즈 같은 구멍을 지나면 조금 퍼진다. 그래서 한 점의 상도 점이 아니라 작은 원 무늬가 된다.
설명두 점의 상이 서로 겹치면 구분할 수 없다. 구분할 수 있는 최소 간격(분해능)은 대략 0.61λ / NA로, 파장에 비례한다. 가시광선은 파장이 400~700 nm라서 아주 좋은 렌즈로도 약 200 nm가 한계이고, 배율을 높이면 흐린 상이 커질 뿐이다.
연결1924년 드브로이는 입자도 파장 λ = h / p를 가진다고 제안했고, 1927년 데이비슨과 거머가 전자 회절로 확인했다. 그런데 전압 V로 가속한 전자는 운동량이 커서, 100 kV에서 파장이 약 3.7 pm이다. 가시광선의 10만분의 1 정도이다.
적용‘100 nm’에서 두 현미경을 비교해 보자. 다음에는 ‘0.2 nm’를 고르고 가속 전압을 올리며, 원자 9개가 따로 보이기 시작하는 전압을 찾아보자.
판단전자 현미경의 분해능은 파장만으로 정해지지 않는다. 자기장으로 만든 전자 렌즈는 수차가 커서 아주 좁은 각도의 전자만 쓸 수 있고, 그래서 실제 분해능은 파장보다 수십 배 크다. 또 전자는 공기에 막히므로 시료를 진공에 두고 얇게 만들어야 하는데, 살아 있는 세포를 그대로 보기 어려운 까닭이다.

확인조건이 달라지면

전자 대신 양성자(질량이 전자의 약 1836배)를 같은 전압으로 가속하면, 드브로이 파장은 전자의 몇 배일까? (속력은 빛보다 충분히 느리다고 본다)

탐구 5

니켈 결정에 쏜 전자는 왜 특정한 각도로 몰려 튀어나올까?

물질파 · 데이비슨–거머 실험과 드브로이 파장

가속 전압 V = 54 V 검출기 각도 φ = 30°

검출 전류 (상대값): —
드브로이 파장 h/p: —
1차 극대 예상 각: —
같은 파장의 X선 광자: —

니켈 표면의 원자 줄 간격 d = 0.215 nm. 표면 원자 줄을 반사형 회절 격자로 본 모식이며, 실제 결정 속 굴절(내부 퍼텐셜)과 여러 원자층의 효과는 넣지 않았다. λ = h/√(2meV) ≈ 1.226/√V nm (V는 볼트, 비상대론).

질문1927년 데이비슨과 거머는 니켈 결정에 54 eV 전자를 수직으로 쏘고, 튀어나오는 전자의 수를 각도마다 쟀다. 전자가 작은 공이라면 모든 방향으로 고르게 흩어져야 한다. 그런데 50° 근처에서 뚜렷한 봉우리가 나타났다. 왜 그럴까?
복원드브로이는 1924년, 빛이 파동이면서 운동량 p = h/λ인 입자라면 반대로 운동량 p인 입자도 파장 λ = h / p를 가져야 한다고 제안했다. 회절 격자에서 간격 d인 틈(또는 원자 줄)이 내보낸 파동은 경로차 d sin φ가 파장의 정수배일 때 보강된다.
설명전압 V로 가속한 전자는 eV = p²/2m이므로 p = √(2meV), λ = h/√(2meV)이다. 54 V이면 λ = 0.167 nm로, 원자 간격과 비슷하다. 니켈 표면의 원자 줄은 간격 d = 0.215 nm인 반사 격자 역할을 하여, d sin φ = λ를 만족하는 φ ≈ 51°에서 산란파가 보강된다. 측정된 봉우리(50°)는 이 예측과 맞았고, 이로써 전자의 파동성이 실험으로 확인되었다. 같은 해 톰슨은 얇은 금속 박막을 통과한 전자가 X선과 같은 동심원 회절 무늬를 만든다는 것을 보였다.
연결같은 0.167 nm 파장을 X선 광자로 만들려면 광자 하나가 7 keV 이상의 에너지를 가져야 한다. 전자는 질량이 있어 훨씬 작은 에너지로 같은 파장을 낸다. 그래서 저에너지 전자 회절(LEED)은 시료 깊이 들어가지 않고 표면 몇 원자층의 배열만 읽어 내는 도구가 되었고, 전자 현미경도 같은 원리로 짧은 파장을 얻는다.
적용54 V에서 검출기 각도를 0°부터 90°까지 돌려 전류가 가장 큰 각도를 찾자. 그 각도와 d로 파장을 거꾸로 구하고 h/p와 비교해 보자. 전압을 2배, 4배로 올리면 봉우리 각도는 어떻게 바뀌는가? 몇 V를 넘으면 두 번째 봉우리(2차 극대)가 90° 안으로 들어오는가?
판단물질파는 ‘전자가 파도치듯 구불구불 움직인다’는 뜻이 아니다. 검출기는 언제나 전자를 한 개씩 센다. 파동처럼 간섭하는 것은 전자를 어디에서 발견할 확률이고, 그 결과 많은 전자가 쌓인 분포가 회절 무늬를 이룬다. 또 야구공(0.15 kg, 40 m/s)의 드브로이 파장은 약 10⁻³⁴ m로, 어떤 장치로도 회절을 볼 수 없다.

확인조건이 달라지면

같은 니켈 결정에 전자 대신 같은 속력의 중성자(질량이 전자의 약 1840배)를 쏘면 1차 회절 봉우리는 어떻게 될까?