상보성 원리와 불확정성 원리

본문

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전자는 음전하이고 원자핵은 양전하이다. 서로 끌어당기는데도 전자는 핵에 들러붙지 않고, 원자는 핵보다 10만 배쯤 큰 크기를 유지한다. 고전 물리학으로 계산하면 핵 둘레를 도는 전자는 빛을 내며 에너지를 잃고 1억분의 1초 만에 핵으로 떨어져야 한다. 그런데 세상의 모든 원자는 멀쩡하다. 무엇이 전자를 핵에서 떼어 놓을까? 그 답은 위치와 운동량을 동시에 정확히 정할 수 없다는 양자 역학의 원리에 있다.

위치의 퍼짐 Δx (nm)

그림 1. 전자의 파동 묶음이 퍼진 정도. 위치의 분포(파랑)를 좁히면 운동량의 분포(주황)가 넓어지고, 그 반대도 마찬가지이다. 두 퍼짐의 곱은 일정한 값보다 작아질 수 없다.

먼저 알아야 할 것드브로이 파장(빛의 이중성과 물질파), 파동의 중첩, 이중 슬릿 간섭(물리학).

4.4.1파동 묶음과 불확정성

파장이 하나뿐인 물질파는 끝없이 이어진 사인 곡선이라, 그 입자가 어디에 있는지 알 수 없다. 입자가 한곳에 모여 있으려면 파장이 조금씩 다른 여러 파동을 겹쳐, 한곳에서만 서로 보강되고 나머지에서는 지워지는 파동 묶음을 만들어야 한다. 묶음을 좁게 만들수록 더 많은 종류의 파장이 필요하다. 그런데 파장은 운동량과 \(p = h/\lambda\)로 이어져 있으므로, 여러 파장이 섞였다는 것은 운동량이 여러 값에 걸쳐 퍼져 있다는 뜻이다.

정리 4.4.1 하이젠베르크의 불확정성 원리

입자 위치의 퍼짐 \(\Delta x\)와 운동량의 퍼짐 \(\Delta p\)는 \[\Delta x\,\Delta p \ge \frac{\hbar}{2},\qquad \hbar = \frac{h}{2\pi} \approx 1.05 \times 10^{-34}\ \text{J·s}\]를 만족한다. 이것은 측정 장치가 서툴러서가 아니라, 입자가 파동의 성질을 가지기 때문에 생기는 한계이다.

그림 1에서 위치의 퍼짐을 바꾸어 보자. 전자를 원자 크기인 0.1 nm 안에 가두면 \(\Delta p \ge 1.05 \times 10^{-34} \div (2 \times 10^{-10}) \approx 5.3 \times 10^{-25}\) kg·m/s이므로, 속도는 적어도 약 580 km/s만큼 퍼진다. 0.01 nm로 더 좁히면 그 10배가 된다. 그래서 전자를 핵 가까이 좁은 곳에 가두면 운동 에너지가 커지고, 그 운동 에너지가 핵의 끌어당김과 균형을 이루는 크기에서 원자의 크기가 정해진다.¹

4.4.2상보성 원리

이중 슬릿에 전자를 하나씩 쏘아도 스크린에는 간섭무늬가 쌓인다. 그런데 전자가 어느 슬릿을 지났는지 알아내려고 슬릿 옆에 빛을 비추면, 간섭무늬가 사라진다. 전자를 본 빛의 광자가 전자에 운동량을 주어, 전자의 경로를 알아낸 대가로 간섭에 필요한 위상을 흐트러뜨리기 때문이다. 보어는 입자의 성질(어느 길로 갔는가)과 파동의 성질(간섭무늬)이 서로를 보완하지만 한 실험에서 동시에 완전히 드러날 수는 없다고 정리했다. 이것을 상보성 원리라 한다.

그림 2. 불확정성은 가볍고 좁은 곳에 갇힌 입자에서만 크게 드러나고, 일상의 물체에서는 측정할 수 없을 만큼 작다.

4.4.3예제 풀이

예제 4.4.2

수소 원자에서 전자가 반지름 \(r\) 안에 갇혀 있다면 운동량은 대략 \(p \approx \hbar/r\)이다. 전체 에너지 \(E = \dfrac{\hbar^2}{2mr^2} - \dfrac{ke^2}{r}\)가 가장 작아지는 \(r\)을 구하여라. \(\hbar = 1.05 \times 10^{-34}\) J·s, \(m = 9.1 \times 10^{-31}\) kg, \(ke^2 = 2.3 \times 10^{-28}\) J·m이다.

\(E\)를 \(r\)로 미분하여 0으로 놓으면 \(-\dfrac{\hbar^2}{mr^3} + \dfrac{ke^2}{r^2} = 0\)이므로 \(r = \dfrac{\hbar^2}{mke^2}\)이다. 값을 넣으면 \(r = \dfrac{(1.05 \times 10^{-34})^2}{9.1 \times 10^{-31} \times 2.3 \times 10^{-28}} \approx 5.3 \times 10^{-11}\) m, 곧 0.053 nm이다.

이 값은 수소 원자의 보어 반지름과 같다. 전자가 이보다 핵에 가까워지면 불확정성 때문에 운동 에너지가 거리의 제곱에 반비례하여 빠르게 커지고, 끌어당기는 위치 에너지가 거리에 반비례하여 줄어드는 것보다 더 크게 손해를 본다. 그래서 전자는 이 크기에서 가장 낮은 에너지를 가지며 더는 핵으로 떨어지지 않는다. 즉 불확정성 원리가 원자의 크기, 나아가 모든 물질의 단단함을 정한다.

아래 탐구 카드에서 한곳에 모인 파동을 만들려면 파장이 몇 가지나 필요한지 확인하고, 경로를 알아내면 간섭무늬가 사라지는 까닭을 살펴보자.

하이젠베르크는 1927년 전자의 위치를 감마선 현미경으로 본다고 생각하는 사고 실험으로 이 원리를 설명했다. 위치를 정확히 보려고 파장이 짧은 빛을 쓸수록, 그 광자가 전자를 세게 쳐서 운동량을 크게 흐트러뜨린다.

마무리

입자는 파동의 성질을 가지므로, 한곳에 모이려면 여러 파장이 섞여야 하고 그만큼 운동량이 퍼진다. 그래서 위치와 운동량의 퍼짐은 \(\Delta x\,\Delta p \ge \hbar/2\)를 만족하며, 입자의 성질과 파동의 성질은 한 실험에서 동시에 완전히 드러나지 않는다. 처음 질문의 전자는 핵 가까이 좁게 갇힐수록 불확정성 때문에 운동 에너지가 커져, 약 0.05 nm 크기에서 균형을 이루고 핵으로 떨어지지 않는다.

탐구 1

전자를 하나씩 쏘아도 간섭무늬가 생길까?

단일 양자의 이중 슬릿 · 확률 파동의 간섭

도착한 전자 수 = 200

한 번에 날아가는 전자: 1개 (앞의 전자가 도착한 뒤 다음 전자 발사)
무늬: —

점의 위치는 확률 분포 |ψ|²에 따라 무작위로 뽑았다. 두 슬릿을 모두 열면 |ψ₁ + ψ₂|², 어느 슬릿인지 측정하면 |ψ₁|² + |ψ₂|²이다.

질문빛이나 전자를 아주 약하게 해서 한 번에 하나씩만 이중 슬릿으로 보내면, 간섭할 상대가 없으니 무늬가 사라질까?
복원이중 슬릿을 지난 파동은 경로차에 따라 보강 간섭과 상쇄 간섭을 해 밝고 어두운 무늬를 만든다. 그리고 전자도 드브로이 파장 λ = h/p를 가진 파동처럼 회절한다(물질파).
설명실제로 해 보면(1989년 도노무라 등의 전자 실험) 전자는 스크린에 한 점씩 입자처럼 도착하고, 어디에 찍힐지는 미리 알 수 없다. 그런데 수천 개가 쌓이면 간섭무늬가 나타나는데, 각 전자가 어디에 도착할 확률이 파동처럼 두 슬릿을 모두 지나 간섭한 분포 |ψ₁ + ψ₂|²를 따르기 때문이다. 이것이 입자–파동 이중성이며, 파동은 확률의 파동이다.
연결전자가 어느 슬릿을 지났는지 측정하는 장치를 달면, 전자는 한쪽 경로로 정해지고 간섭 항이 사라져 두 슬릿 무늬를 단순히 더한 분포가 된다. 즉 어느 길로 갔는지에 대한 정보와 간섭무늬는 함께 얻을 수 없고, 이 성질은 양자 중첩과 측정, 양자 암호의 바탕이 된다.
적용전자 수를 1개에서 1만 개까지 늘리며 무늬가 언제 보이기 시작하는지 보고, 세 조건의 결과를 비교해 보자. 그리고 측정했을 때의 분포가 한 슬릿만 열었을 때의 분포와 어떤 관계인지 생각해 보자.
판단전자가 반으로 쪼개져 두 슬릿을 지난다는 말은 맞지 않는다. 검출기는 언제나 전자 하나를 통째로 검출하기 때문이다. 양자 역학은 전자가 지나가는 동안 실제로 무엇을 하는지 그림을 주지 않고 도착 확률을 정확히 예측할 뿐이며, 이 해석을 두고는 지금도 여러 견해가 있다.

확인조건이 달라지면

전자 하나를 이중 슬릿으로 보냈다. 이 전자에 대해 옳은 것은?

탐구 2

한곳에 모인 파동을 만들려면 파장이 몇 가지나 필요할까?

불확정성 원리 · 파동 묶음과 Δx·Δp ≥ ħ/2

파수 분포의 폭 = 1.0 nm⁻¹

위치의 퍼짐 Δx: —
파수의 퍼짐 Δk: —
Δx · Δk: —

전자라면 속도의 퍼짐 Δv = ħΔk/m: —
평균 파장 λ₀: 0.50 nm
더한 성분 수: —

Δx와 Δk는 |ψ(x)|²와 |φ(k)|² 분포의 표준 편차를 수치로 계산한 값이다(계산 창 −8 nm ~ 8 nm). p = ħk이므로 Δp = ħΔk이고, ħ/m_e = 1.158×10⁻⁴ m²/s를 썼다.

질문드브로이 파장이 하나로 정해진 전자, 곧 운동량이 정확히 p인 전자의 파동 함수는 끝없이 이어지는 사인파이다. 이 전자는 어디에 있을까? 전자를 한 지점 근처에 모으려면 파동 함수를 어떻게 바꾸어야 할까?
복원드브로이 관계에서 p = h/λ = ħk이다(k = 2π/λ, ħ = h/2π). 파동 함수의 크기 제곱 |ψ|²은 그 위치에서 입자를 발견할 확률 밀도이다. 서로 다른 파장의 파동을 더하면 맥놀이처럼 어떤 곳은 보강되고 어떤 곳은 상쇄된다.
설명파수가 조금씩 다른 파동을 많이 더하면 한곳에서만 위상이 맞고 나머지에서는 서로 지워져 파동 묶음이 된다. 파수의 범위 Δk를 넓힐수록 묶음은 좁아지며, 어떤 분포를 쓰든 Δx · Δk ≥ 1/2이다. 등호는 가우스 분포일 때만 성립한다. 양변에 ħ를 곱하면 하이젠베르크의 불확정성 원리 Δx·Δp ≥ ħ/2가 된다. 위치가 정해진 상태는 여러 운동량의 중첩이어야 하고, 운동량이 정해진 상태는 위치가 퍼져 있어야 한다는 뜻이다.
연결보어의 상보성 원리는 같은 사실을 실험의 언어로 말한다. 이중 슬릿에서 전자가 어느 슬릿을 지났는지(위치) 알아낼 만큼 정밀한 장치는 전자의 운동량을 간섭무늬 간격보다 크게 흐트러뜨려 무늬를 지운다. 입자의 경로와 파동의 간섭은 서로 보완하는 두 그림이지만, 한 실험 배치에서 동시에 드러나지 않는다. 같은 수학이 시간과 진동수에도 적용되어 ΔE·Δt ≳ ħ/2가 되며, 수명이 짧은 들뜬 상태일수록 스펙트럼 선이 넓다.
적용가우스 분포에서 폭을 바꾸며 Δx·Δk가 늘 0.50인지 확인해 보자. 삼각형 분포에서는 이 값이 얼마인가? ‘파장 두 개’를 고르면 위치가 정해지지 않는 까닭은 무엇인가? 원자 크기(Δx ≈ 0.1 nm)에 갇힌 전자라면 Δv가 대략 얼마가 되는지 어림해 보자.
판단불확정성 원리는 측정 장치가 서툴러서 생기는 오차가 아니다. 아무리 완벽한 장치로도 Δx와 Δp가 동시에 0인 상태는 존재하지 않는다. 또 Δx는 ‘한 번 잰 값의 오차’가 아니라 같은 상태를 여러 번 준비해 쟀을 때 결과가 퍼진 정도이다. 위치 하나만은 얼마든지 정밀하게 잴 수 있지만, 그 대가로 운동량의 퍼짐이 커진다.

확인조건이 달라지면

레이저 펄스의 지속 시간을 100 fs에서 10 fs로 줄였다(모양은 같음). 펄스에 담긴 빛의 진동수 범위(스펙트럼 폭)는 어떻게 될까?

읽기 3

전자가 어느 슬릿을 지났는지 보면 왜 간섭무늬가 사라질까?

읽기 · 상보성 원리와 불확정성의 사고 실험

1927년 무렵 하이젠베르크와 보어는 양자 역학이 무엇을 말하는지 놓고 여러 사고 실험을 주고받았다. 아인슈타인은 그 허점을 찾으려 했다. 세 가지 사고 실험을 따라가면 불확정성 원리와 상보성 원리가 어디에서 왔는지 보인다.

1좁은 틈은 운동량을 퍼뜨린다

운동량 p로 날아오는 전자가 폭 a인 틈을 지나면, 틈을 지나는 순간 전자의 가로 위치는 Δy ≈ a 안으로 정해진다. 그런데 틈을 지난 전자는 회절하여 퍼지고, 첫 번째 어두운 곳까지의 각도는 sin θ ≈ λ/a이다. 가로 운동량이 대략 0에서 p sin θ 사이로 퍼지므로 Δp_y ≈ p·λ/a = h/a이다. 두 값을 곱하면

Δy · Δp_y ≈ h

틈을 좁혀 위치를 정확히 하려 할수록 무늬가 넓게 퍼진다. 정확한 부등식은 표준 편차로 정의할 때 Δy·Δp_y ≥ ħ/2이며, 이런 어림은 크기의 정도만 맞춘다.

틈이 좁을수록(Δy가 작을수록) 회절 각이 커져 가로 운동량의 퍼짐 Δp_y가 커진다. 모식.

2하이젠베르크의 감마선 현미경

전자의 위치를 보려면 빛을 쏘아 전자에 맞고 튀어나온 광자를 렌즈로 모아야 한다. 렌즈가 받아들이는 반각이 α이면 분해능은 Δx ≈ λ/sin α이다. 파장을 줄이면 위치는 정확해진다. 그런데 광자는 운동량 h/λ를 가지고, 렌즈 안 어느 방향으로 들어왔는지 알 수 없으므로 전자가 받은 가로 반동은 Δp_x ≈ (h/λ) sin α만큼 불확실하다. 곱하면 다시 Δx·Δp_x ≈ h이다. 파장을 짧게 하면 위치를 얻는 대신 콤프턴 효과의 반동이 커진다.

3아인슈타인의 움직이는 슬릿과 보어의 답

아인슈타인은 이중 슬릿 판을 가볍게 매달아, 전자가 위쪽 슬릿을 지나면 판이 한쪽으로, 아래쪽 슬릿을 지나면 반대쪽으로 반동하게 하자고 했다. 판의 반동을 재면 경로를 알면서도 무늬를 볼 수 있지 않을까? 보어는 판의 운동량을 그만큼 정확히 재려면 판의 위치가 불확정성 원리만큼 흐려지고, 그 흐려짐이 정확히 간섭무늬 한 칸 이상이 되어 무늬가 지워진다는 것을 보였다. 경로 정보와 간섭무늬는 함께 얻을 수 없다.

실험 배치	드러나는 성질	지워지는 성질
두 슬릿을 모두 열고 경로를 재지 않음	간섭무늬 (파동성)	어느 슬릿을 지났는지
슬릿마다 검출기를 둠	경로 (입자성)	간섭무늬가 사라지고 두 단일 슬릿 무늬의 합만 남음
광전 효과, 콤프턴 산란	에너지 hf, 운동량 h/λ의 알갱이	—
전자 회절, 결정에 의한 X선 회절	파장 λ = h/p의 간섭	—

4상보성 원리

보어는 이 상황을 상보성 원리로 정리했다. 빛과 물질은 입자의 모습과 파동의 모습을 모두 가지지만, 두 모습은 서로 배타적인 실험 배치에서 드러나며 한 배치에서 동시에 완전히 드러나지 않는다. 둘 중 하나만으로는 대상을 온전히 기술할 수 없고, 둘을 합쳐야 완전한 그림이 된다. 위치와 운동량, 시간과 에너지도 이런 상보적인 짝이다. 에너지–시간 관계 ΔE·Δt ≳ ħ/2에 따라 들뜬 상태의 수명이 짧을수록 방출선의 폭이 넓다. 수소의 2p 상태는 수명이 약 1.6 ns라서 선폭이 ħ/τ ≈ 4×10⁻⁷ eV 정도이다.

판단“측정하면 장치가 전자를 건드려서 무늬가 사라진다”는 설명은 절반만 맞다. 1998년 원자 간섭계 실험(뒤르, 논, 렘페)에서는 원자의 경로를 원자 내부 상태에 표시하여 운동량을 거의 건드리지 않았는데도 간섭무늬가 사라졌다. 무늬를 지우는 것은 충격 자체보다 경로 정보가 존재한다는 사실이다. 또 불확정성 원리는 거시 물체에도 성립하지만 h가 매우 작아 일상에서는 드러나지 않는다.

확인조건이 달라지면

같은 속력의 전자를 폭 a인 단일 슬릿에 보냈더니 스크린의 중앙 밝은 무늬 폭이 W였다. 슬릿 폭을 a/2로 줄이면 중앙 무늬 폭은 어떻게 될까? (스크린이 충분히 멀고 각도가 작다고 가정)