렌즈·거울과 수차

돋보기를 글자 가까이 대면 글자가 바로 선 채 크게 보인다. 그런데 돋보기를 눈에서 멀리 떼어 창밖 풍경을 보면 풍경이 거꾸로 작게 보인다. 같은 렌즈인데 물체와의 거리에 따라 왜 상이 이렇게 달라질까? 그리고 비싼 카메라 렌즈는 왜 유리 한 장이 아니라 여러 장을 겹쳐 만들까?

물체 거리 \(a\) (cm)

2.2.1렌즈 방정식

볼록 렌즈는 축에 나란히 들어온 빛을 렌즈 뒤의 한 점, 곧 초점에 모은다. 렌즈 중심에서 초점까지의 거리가 초점 거리 \(f\)이다. 물체의 한 점에서 나온 빛 가운데 축에 나란한 빛은 굴절하여 초점을 지나고, 렌즈 중심을 지나는 빛은 꺾이지 않고 곧게 나간다. 두 빛이 만나는 곳에 상이 생긴다.

그림 1에서 물체를 멀리서 가까이로 옮겨 보자. 40 cm에서는 상이 렌즈 뒤 13 cm에 작게 거꾸로 생긴다. 20 cm, 곧 초점 거리의 2배에서는 같은 크기의 상이 20 cm에 생긴다. 초점에 다가갈수록 상은 멀어지고 커진다. 그런데 초점 안으로 들어오면 굴절한 빛이 퍼져 나가 만나지 않고, 그 빛을 거꾸로 이은 렌즈 앞쪽에 바로 선 허상이 보인다. 돋보기가 바로 이 경우이다.

2.2.2수차

실제 렌즈는 빛을 정확히 한 점에 모으지 못한다. 구면 렌즈의 가장자리를 지난 빛은 가운데를 지난 빛보다 더 많이 꺾여 조금 앞에 모인다. 이를 구면 수차라 한다. 또 유리의 굴절률은 색마다 달라 보라빛이 빨간빛보다 더 많이 꺾이므로, 색마다 초점이 어긋나 상의 테두리에 색 번짐이 생긴다. 이를 색수차라 한다.

그래서 카메라 렌즈는 굴절률이 다른 볼록 렌즈와 오목 렌즈를 겹쳐 서로의 수차를 상쇄한다. 한편 거울은 빛을 반사하므로 색수차가 없다. 그래서 큰 천체 망원경은 렌즈 대신 오목 거울을 쓴다.¹

2.2.3예제 풀이

\(\dfrac{1}{b} = \dfrac{1}{10} - \dfrac{1}{15} = \dfrac{1}{30}\)이므로 \(b = 30\) cm이다. 배율은 \(-\dfrac{30}{15} = -2\)이므로 높이 4 cm인 거꾸로 선 실상이 렌즈 뒤 30 cm에 생긴다. 이것이 영사기가 작은 필름을 크게 비추는 방식이다.

5 cm로 옮기면 \(\dfrac{1}{b} = \dfrac{1}{10} - \dfrac{1}{5} = -\dfrac{1}{10}\), 곧 \(b = -10\) cm이다. 상이 렌즈 앞 10 cm에 있는 허상이고, 배율은 \(-\dfrac{-10}{5} = 2\)이므로 바로 선 4 cm 크기이다. 따라서 같은 렌즈라도 물체가 초점 안팎 어디에 있느냐에 따라 영사기도 되고 돋보기도 된다.

아래 탐구 카드에서 렌즈를 반쯤 가렸을 때의 상과 렌즈가 빛을 한 점에 모으지 못하는 까닭을 직접 따져 보자.

1. 사람의 눈도 수차가 있지만 뇌가 상당 부분을 보정한다. 밤에 동공이 커지면 렌즈 가장자리로 들어오는 빛이 많아져 구면 수차가 커지므로, 어두운 곳에서는 시야가 조금 흐려진다.