이차곡선

포물선, 타원, 쌍곡선은 모두 원뿔을 평면으로 자른 단면에서 나옵니다. 그래서 세 곡선을 묶어 이차곡선, 또는 원뿔곡선이라고 부릅니다. 이 절에서는 3차원 원뿔을 직접 기울여 자르며 세 곡선이 어떻게 나뉘는지 보고, 초점까지의 거리와 준선까지의 거리의 비 하나(이심률)로 세 곡선이 한 가족이라는 것을 확인한 뒤 방정식으로 나타냅니다.

먼저 알면 좋은 것 포물선의 방정식 타원의 방정식 쌍곡선의 방정식 원의 방정식

본문

이차곡선

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손전등을 벽에 수직으로 비추면 원 모양의 빛이 생기고, 조금 기울이면 타원이 된다. 더 기울여 손전등의 빛 원뿔 한쪽 모서리가 벽과 나란해지면 한쪽이 끝없이 열린 포물선이 되고, 그보다 더 기울이면 쌍곡선의 한 가지가 된다. 원뿔을 평면으로 자르는 각도만 바꾸었을 뿐인데 네 가지 곡선이 나온다. 이 곡선들을 하나의 규칙으로 그릴 수 있을까? 그 규칙에서 어떤 숫자가 곡선의 종류를 정할까?

그림 1. 평면이 원뿔의 모선보다 덜 기울면 닫힌 곡선, 나란하면 포물선, 더 기울면 두 원뿔을 모두 자르는 쌍곡선이 된다.

먼저 알아야 할 것포물선의 방정식, 타원의 방정식, 쌍곡선의 방정식, 원의 방정식.

2.1.1초점과 준선의 거리 비

포물선은 한 점 \(F\)와 한 직선 \(l\)에서 같은 거리에 있는 점들의 자취이다. 이 정의를 넓혀, 초점 \(F\)까지의 거리 \(PF\)와 준선 \(l\)까지의 거리 \(PD\)의 비가 일정한 값 \(e\)인 점 \(P\)의 자취를 생각하자. \(e = 1\)이면 포물선이다. \(e\)가 1보다 작으면 \(P\)가 준선보다 초점에 더 가까이 있어야 하므로 곡선이 초점 둘레를 감싸며 닫히고, 타원이 된다. \(e\)가 1보다 크면 준선에 더 가까워도 되므로 곡선이 두 갈래로 끝없이 열려 쌍곡선이 된다. 이 비 \(e\)를 이심률이라 한다.

정리 2.1.1 이심률과 이차곡선

타원 \(\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\) \((a > b > 0)\)은 \(c = \sqrt{a^2 - b^2}\)일 때 초점 \((\pm c, 0)\), 준선 \(x = \pm a^2/c\), 이심률 \(e = c/a < 1\)이다. 쌍곡선 \(\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\)은 \(c = \sqrt{a^2 + b^2}\)일 때 이심률 \(e = c/a > 1\)이다. 포물선은 \(e = 1\)이다.

이심률이 0에 가까운 타원은 두 초점이 거의 겹쳐 원에 가깝고, 1에 가까울수록 납작해진다. 행성의 궤도는 이심률이 작은 타원이어서 지구는 0.017로 거의 원이고, 혜성의 궤도는 이심률이 1에 가까운 길쭉한 타원이다. 태양계를 한 번 지나 떠나는 천체는 이심률이 1보다 큰 쌍곡선 궤도를 그린다. 그래서 세 곡선은 이심률이라는 하나의 수로 이어진 한 가족이다.¹

2.1.2원뿔 단면과의 연결

원뿔 단면에서 초점과 준선이 어디서 나오는지는 원뿔 안에 넣은 공으로 볼 수 있다. 원뿔 안에 자르는 평면과 원뿔에 동시에 접하는 공을 넣으면, 공이 평면에 닿는 점이 초점이 된다. 또 공이 원뿔에 닿는 원이 놓인 평면과 자르는 평면이 만나는 직선이 준선이 된다. 이렇게 하면 단면 위의 점에서 초점까지의 거리와 준선까지의 거리의 비가 원뿔의 기울기와 평면의 기울기로만 정해져 일정하다는 것을 보일 수 있다. 그래서 자르는 각을 바꾸는 것이 곧 이심률을 바꾸는 것이다.

그림 2. 세 곡선 모두 초점까지의 거리와 준선까지의 거리의 비가 일정하다.

2.1.3예제 풀이

예제 2.1.2

타원 \(\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1\)의 초점, 준선, 이심률을 구하여라. 타원 위의 점 \((5, 0)\)과 \((0, 3)\)에서 \(PF/PD\)를 계산해 이심률과 같은지 확인하여라. 초점은 \((4, 0)\), 준선은 \(x = 25/4\)를 쓴다.

\(c = \sqrt{25 - 9} = 4\)이므로 초점은 \((\pm4, 0)\)이고, 준선은 \(x = \pm25/4\), 이심률은 \(e = 4/5 = 0.8\)이다. 점 \((5, 0)\)에서 \(PF = 5 - 4 = 1\)이고 \(PD = 25/4 - 5 = 5/4\)이므로 \(PF/PD = 1/(5/4) = 0.8\)이다.

점 \((0, 3)\)에서는 \(PF = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5\), \(PD = 25/4\)이므로 \(PF/PD = 5/(25/4) = 0.8\)이다. 서로 다른 두 점에서 비가 모두 이심률과 같다. 그래서 타원은 두 초점까지 거리의 합이 일정한 곡선이면서, 한 초점과 한 준선까지 거리의 비가 일정한 곡선이기도 하다. 즉 포물선, 타원, 쌍곡선은 초점과 준선까지 거리의 비인 이심률 하나로 갈리며, 이는 원뿔을 자르는 평면의 기울기와 같은 정보이다.

아래 탐구 카드에서 원뿔을 자르는 평면을 기울이며 단면이 바뀌는 모습을 보고, 이심률을 바꾸어 세 곡선을 하나의 규칙으로 그려 보자.

원뿔 안에 공을 넣어 초점을 찾는 방법은 1822년 벨기에의 수학자 당들랭이 찾아 당들랭 구라 부른다. 원뿔곡선 자체는 기원전 3세기 그리스의 아폴로니오스가 여덟 권의 책으로 정리했고, 포물선, 타원, 쌍곡선이라는 이름도 그때 붙었다.

마무리

원뿔을 평면으로 자르면 평면의 기울기에 따라 원, 타원, 포물선, 쌍곡선이 나오며, 이 곡선들은 초점까지의 거리와 준선까지의 거리의 비가 일정한 점의 자취로 한꺼번에 나타난다. 그 비인 이심률이 1보다 작으면 타원, 1이면 포물선, 1보다 크면 쌍곡선이다. 처음 질문의 손전등 빛도 기울이는 각에 따라 이심률이 0에서 1을 지나 커지며 원, 타원, 포물선, 쌍곡선으로 바뀐다.

탐구 1

원뿔을 자르는 칼을 기울이면 단면은 어떻게 바뀔까?

이차곡선 · 원뿔곡선 · 만들기

평면의 기울기 \(\beta\) = 20° 평면의 높이 = 0.8

단면 — —

원뿔의 모선과 축이 이루는 각은 \(30^\circ\)이다. 왼쪽 그림을 끌면 돌아간다. 오른쪽은 평면 위에서 바라본 단면이다.

질문손전등을 벽에 비추면 빛의 테두리가 원뿔을 벽으로 자른 단면이다. 손전등을 기울이면 원이 타원이 되었다가, 더 기울이면 끝없이 벌어지는 모양이 된다. 기울기에 따라 단면은 몇 가지로 나뉠까?
복원원뿔의 모선은 꼭짓점을 지나 옆면을 이루는 직선이다. 평면이 모든 모선과 만나면 단면은 닫힌 곡선이 되고, 어떤 모선과 나란하면 그 방향으로 끝없이 뻗는다.
설명평면의 기울기 \(\beta\)를 원뿔의 모선의 기울기와 비교한다. 축과 모선이 이루는 각이 \(\alpha\)일 때, \(\beta < 90^\circ - \alpha\)이면 평면이 한쪽 원뿔의 모든 모선을 끊으므로 단면은 타원(\(\beta = 0\)이면 원)이다. \(\beta = 90^\circ - \alpha\)이면 평면이 모선 하나와 나란해 한쪽이 열린 포물선, \(\beta > 90^\circ - \alpha\)이면 평면이 위아래 두 원뿔을 모두 끊어 두 갈래인 쌍곡선이 된다. 그래서 세 곡선을 원뿔곡선이라고 한다.
연결이 단면들을 좌표평면에 옮기면 각각 \(y^2 = 4px\), \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\), \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\)이 된다. 모두 \(x, y\)의 이차식이라 이차곡선이라고도 부른다. 다음 카드에서 세 곡선을 하나의 정의로 묶는다.
적용기울기를 0°부터 천천히 올리며 단면이 원 → 타원 → 포물선 → 쌍곡선으로 바뀌는 순간을 찾자. 포물선이 되는 각은 정확히 몇 도인가? 높이를 0으로 내리면(평면이 꼭짓점을 지나면) 어떤 단면이 나오는가?
판단평면이 꼭짓점을 지나면 단면은 한 점, 한 직선, 또는 만나는 두 직선이 된다. 이것도 이차식으로 나타나는 "퇴화한" 이차곡선이다. 또 이 그림은 원뿔을 위아래로 잘라 보여 주지만, 실제 원뿔곡선의 쌍곡선과 포물선은 끝없이 뻗는다.

확인조건이 달라지면

축과 모선이 이루는 각이 \(45^\circ\)인 원뿔을, 축에 수직인 평면에서 \(50^\circ\) 기울인 평면으로 잘랐다(꼭짓점은 지나지 않음). 단면은?

탐구 2

포물선, 타원, 쌍곡선을 하나의 규칙으로 그릴 수 있을까?

이차곡선 · 이심률 · 조작

이심률 \(e\) = 0.6 곡선 위의 점 P의 각 \(\theta\) = 60°

\(\overline{\mathrm{PF}}\): —
\(\overline{\mathrm{PH}}\) (준선까지): —
\(\overline{\mathrm{PF}} \div \overline{\mathrm{PH}}\): —

곡선 —

초점 F는 원점, 준선 \(l\)은 직선 \(x = -2\)이다. 쌍곡선일 때 \(\theta\)가 어떤 범위에 있으면 점 P는 다른 쪽 가지에 나타난다.

질문포물선은 "초점과 준선에서 거리가 같은 점", 타원은 "두 초점까지 거리의 합이 일정한 점", 쌍곡선은 "두 초점까지 거리의 차가 일정한 점"으로 정의가 제각각이다. 원뿔의 단면이라는 한 집안이라면, 하나의 규칙으로 묶을 수는 없을까?
복원포물선 위의 점 P에서 초점 F까지의 거리와 준선 \(l\)까지의 거리 PH는 같다. 곧 \(\frac{\overline{\mathrm{PF}}}{\overline{\mathrm{PH}}} = 1\)이다.
설명이 비를 1이 아닌 다른 양수 \(e\)로 바꾸어 "\(\overline{\mathrm{PF}} = e \cdot \overline{\mathrm{PH}}\)인 점 P의 자취"를 그리면, \(0 < e < 1\)이면 타원, \(e = 1\)이면 포물선, \(e > 1\)이면 쌍곡선이 나온다. 이 \(e\)를 이심률이라고 한다. 초점을 원점, 준선을 \(x = -d\)로 두고 P를 극좌표 \((r, \theta)\)로 쓰면 \(r = e(r\cos\theta + d)\), 곧 \(r = \frac{ed}{1 - e\cos\theta}\) 한 식으로 세 곡선이 모두 그려진다.
연결타원에서는 \(e = \frac{c}{a}\)(초점까지 거리 ÷ 장축의 절반)이고, \(e\)가 0에 가까울수록 원에 가깝다. 지구 공전 궤도의 이심률은 약 0.017이라 거의 원이고, 핼리 혜성의 궤도는 약 0.97로 매우 길쭉한다. 행성과 혜성의 궤도가 모두 이차곡선인 것은 만유인력의 결과이다.
적용\(e\)를 0.1부터 2.5까지 움직이며 곡선의 모양이 바뀌는 경계를 확인해 보자. 점 P를 움직여 PF와 PH의 비가 늘 \(e\)인지 보자. \(e\)가 1을 넘는 순간 곡선에 무슨 일이 생기는가?
판단원은 이 정의로는 얻을 수 없다. 원의 이심률은 0인데, \(e = 0\)이면 \(\overline{\mathrm{PF}} = 0\)이라 점 하나만 남는다. 원은 \(e \to 0\)이면서 준선이 한없이 멀어지는 극한으로 본다.

확인조건이 달라지면

타원 \(\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1\)의 이심률은?

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