이차곡선의 접선

아파트 베란다의 위성 안테나 접시는 지름이 60 cm이고 가운데가 9 cm 오목하다. 수신기는 접시 앞에 팔을 뻗어 한 점에 매달려 있다. 멀리 있는 위성에서 온 전파는 서로 나란하게 접시에 닿는데, 접시 어디에 닿은 전파든 반사되어 모두 그 한 점에 모인다. 접시의 단면은 포물선이다. 왜 포물선에 나란히 들어온 전파는 한 점에 모일까? 그 점은 접시에서 몇 cm 앞에 있어야 할까?

2.2.1곡선 위 한 점에서의 접선

이차곡선 위의 점 \((x_1, y_1)\)에서의 접선은 곡선의 방정식에서 \(x^2\)을 \(x_1x\)로, \(y^2\)을 \(y_1y\)로, \(x\)를 \(\tfrac12(x + x_1)\)로 바꾸면 얻는다. 음함수 미분으로 접선의 기울기를 구해 직선의 방정식을 정리하면 이 꼴이 나온다. 예를 들어 포물선 \(y^2 = 4px\)를 \(x\)로 미분하면 \(2yy' = 4p\)이므로 점 \((x_1, y_1)\)에서 기울기는 \(2p/y_1\)이다. 접선은 \(y - y_1 = \dfrac{2p}{y_1}(x - x_1)\)이고, \(y_1^2 = 4px_1\)을 써서 정리하면 \(y_1y = 2p(x + x_1)\)이다.

포물선의 접선이 \(x\)축과 만나는 점은 \(y = 0\)을 넣어 \(T(-x_1, 0)\)이다. 초점 \(F(p, 0)\)에서 \(T\)까지의 거리는 \(x_1 + p\)이고, 포물선의 정의에서 \(FP\)도 준선까지의 거리인 \(x_1 + p\)이다. 그래서 삼각형 \(FPT\)는 이등변삼각형이고, 접선이 \(FP\)와 이루는 각은 접선이 \(x\)축과 이루는 각과 같다. \(x\)축과 나란히 들어온 빛은 접선과 같은 각으로 반사되므로, 반사된 빛은 정확히 \(FP\)를 따라 초점으로 간다.¹

2.2.2타원과 쌍곡선의 반사

타원에서도 같은 방법으로 접선과 두 초점을 잇는 선분의 각을 비교할 수 있다. 접선은 한 점에서 두 초점으로 그은 선분과 같은 각을 이루므로, 한 초점에서 나간 빛은 타원에서 반사되어 다른 초점을 지난다. 그래서 타원 모양 방의 한 초점에서 속삭인 말이 멀리 떨어진 다른 초점에서 또렷하게 들린다. 쌍곡선에서는 한 초점을 향해 오던 빛이 반사되어 다른 초점에서 나온 것처럼 퍼져 나가며, 반사 망원경의 보조 거울에 이 성질을 쓴다.

2.2.3예제 풀이

가장자리 점 \((9, 30)\)이 포물선 위에 있으므로 \(30^2 = 4p\times9\)에서 \(p = 900/36 = 25\)이다. 그래서 초점은 꼭짓점에서 축을 따라 25 cm 앞인 \((25, 0)\)이고, 수신기는 그곳에 단다.

점 \(P(9, 30)\)에서의 접선은 \(30y = 2\times25(x + 9)\), 곧 \(y = \tfrac53(x + 9)\)이다. 이 접선은 \(x\)축과 \(T(-9, 0)\)에서 만나고, \(TF = 25 + 9 = 34\)이다. 한편 \(PF = \sqrt{(25 - 9)^2 + 30^2} = \sqrt{256 + 900} = 34\)로 같다. 그래서 삼각형 \(FPT\)가 이등변삼각형이 되어, 축과 나란히 들어온 전파가 \(P\)에서 반사되어 초점으로 간다. 즉 이차곡선의 접선의 방정식으로 접선과 초점이 이루는 각을 비교하면, 포물선 접시가 나란한 전파를 한 점에 모으는 까닭을 증명할 수 있다.

아래 탐구 카드에서 포물선 거울에 나란한 빛을 쏘아 초점에 모이는지 확인하고, 타원 당구대에서 초점을 지나게 친 공이 어디로 가는지 알아보자.

1. 고대 그리스의 디오클레스는 기원전 2세기에 포물선 거울이 햇빛을 한 점에 모은다는 것을 증명한 책을 남겼다. 오늘날 올림픽 성화도 포물면 거울로 햇빛을 모아 불을 붙인다.