모집단과 표본

1936년 미국 대통령 선거를 앞두고 한 잡지사는 전화번호부와 자동차 등록부에서 이름을 골라 천만 명에게 투표 엽서를 보냈고, 돌아온 240만 장으로 공화당 후보가 57%를 얻어 이긴다고 예측했다. 같은 해 갤럽은 5만 명쯤에게만 물었지만 민주당의 루스벨트가 이긴다고 맞혔고, 루스벨트는 61%를 얻었다. 표본이 크면 클수록 정확해야 할 것 같은데, 왜 240만 명이 5만 명보다 틀렸을까? 좋은 표본은 어떻게 뽑아야 할까?

3.8.1크기보다 뽑는 방법

알고 싶은 대상 전체가 모집단이고, 그 가운데 실제로 조사하는 일부가 표본이다. 표본으로 모집단을 짐작하려면 표본이 모집단을 고르게 닮아야 한다. 잡지사의 표본은 전화와 자동차를 가진 사람, 그 가운데서도 엽서를 돌려보낸 사람에 치우쳐, 대공황으로 어려워진 다수의 유권자를 빠뜨렸다. 이렇게 뽑는 방법 때문에 생긴 치우침을 편향이라 하며, 표본을 아무리 늘려도 줄어들지 않는다. 반면 모집단의 모든 대상이 뽑힐 가능성이 같도록 하는 무작위 추출은 편향을 없애고, 남는 우연의 오차는 표본이 클수록 줄어든다.

표본평균의 평균이 모평균과 같다는 것은 무작위로 뽑은 표본이 평균적으로 치우치지 않는다는 뜻이다. 그리고 표본평균의 표준편차가 \(\sigma/\sqrt n\)이어서, 표본이 4배 커지면 우연에 의한 흔들림이 절반으로 준다. 그러나 이 성질은 임의추출일 때만 성립하므로, 편향된 표본은 \(\sqrt n\)으로 아무리 나누어도 모평균이 아닌 엉뚱한 값 둘레로만 모인다.¹

3.8.2여러 가지 추출 방법

전교생 명부에서 난수로 40명을 고르는 단순 임의추출이 기본이다. 학년마다 통학 거리가 크게 다르다면 학년별 인원 비율에 맞추어 각 학년에서 따로 임의추출하는 층화 추출이 더 정확하다. 명부에서 일정한 간격마다 한 명씩 고르는 계통 추출은 간편하지만, 명부가 어떤 규칙으로 정렬되어 있으면 치우칠 수 있다. 몇 개의 반을 통째로 뽑는 집락 추출은 조사하기 쉽지만, 반끼리 성질이 다르면 오차가 커진다.

3.8.3예제 풀이

표본평균의 표준편차는 \(12/\sqrt{36} = 2\)분이다. \(P(|\overline{X} - m| < 4) = P(|Z| < 2) = 2\times0.4772 \approx 0.954\)이다. 그래서 36명만 무작위로 뽑아도 95% 넘는 확률로 모평균과 4분 안에서 맞는다.

편향된 표본에서는 표본평균이 \(m - 5\) 둘레로 모인다. 표본이 커지면 흔들림이 줄어 표본평균이 \(m - 5\)에 점점 더 가까워지므로, 모평균과 4분보다 적게 차이 날 확률은 오히려 0에 가까워진다. 잡지사의 240만 장이 바로 이런 경우였다. 즉 표본으로 모집단을 짐작할 때 표본의 크기는 우연의 오차만 줄일 뿐이고, 편향을 없애려면 모든 대상이 똑같이 뽑힐 수 있도록 무작위로 뽑아야 한다.

아래 탐구 카드에서 여러 추출 방법으로 학생 40명을 뽑아 평균 통학 시간을 비교하고, 1936년 여론조사가 왜 틀렸는지 자료로 확인해 보자.

1. 갤럽은 이 선거에서 잡지사의 결과까지 미리 맞혀 이름을 알렸다. 그러나 1948년에는 할당 표본의 편향 때문에 대통령 선거를 틀리게 예측했고, 그 뒤 여론조사 기관들은 확률에 바탕을 둔 임의추출로 방법을 바꾸었다.