모집단과 표본
본문전교생 1000명의 평균 통학 시간을 알고 싶은데 모두에게 물어볼 수는 없다. 그래서 아침에 정문 앞에서 처음 만난 20명에게 물었다. 이 20명의 평균으로 전교생의 평균을 짐작해도 될까? 누구를 어떻게 뽑아야 믿을 만할까?
3.5.1전수조사와 표본조사
조사 대상 전체를 모두 조사하는 것을 전수조사라 하고, 일부만 골라 조사해 전체를 추측하는 것을 표본조사라 한다. 조사 대상 전체를 모집단, 골라낸 일부를 표본이라 한다. 인구 주택 총조사는 전수조사이고, 여론조사나 과자의 품질 검사는 표본조사이다. 과자를 모두 뜯어서 검사하면 팔 과자가 남지 않기 때문이다.
3.5.2임의추출
표본조사가 믿을 만하려면 표본이 모집단을 고르게 닮아야 한다. 정문 앞에서 처음 만난 학생들은 대개 일찍 오는 학생, 곧 가까이 사는 학생일 가능성이 크다. 그러면 표본의 평균 통학 시간이 모집단보다 짧게 나온다. 이렇게 뽑는 방법 때문에 한쪽으로 치우친 결과가 나오는 것을 표본의 편향이라 한다.
모집단의 각 대상이 같은 확률로 뽑히도록 표본을 추출하는 방법을 임의추출이라 한다. 한 번 뽑은 것을 다시 넣고 뽑으면 복원추출, 다시 넣지 않으면 비복원추출이다.
그림 1의 슬라이더로 추출 방법을 바꾸어 보자. 임의추출에서는 표본을 다시 뽑을 때마다 평균이 모평균 위아래로 흔들리지만 한쪽으로 쏠리지 않는다. 치우친 추출에서는 몇 번을 다시 뽑아도 평균이 늘 낮다. 표본을 크게 해도 편향은 사라지지 않는다.1
3.5.3예제 풀이
1, 2, 3, 4가 하나씩 적힌 공 4개가 든 주머니에서 2개를 뽑는다. 복원추출과 비복원추출(순서 고려)에서 가능한 표본의 수를 각각 구하고, 비복원추출에서 두 수의 평균이 2.5일 확률을 구하여라.
복원추출이면 두 번 모두 4가지씩이므로 \({}_4\Pi_2 = 16\)가지이다. 비복원추출에서 순서를 고려하면 \({}_4\mathrm{P}_2 = 12\)가지이다.
비복원추출에서 두 수의 평균이 2.5, 곧 합이 5인 경우는 \((1, 4), (4, 1), (2, 3), (3, 2)\)의 4가지이다. 12가지가 모두 같은 확률이므로 확률은 \(\dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3}\)이다.
모집단 \(\{1, 2, 3, 4\}\)의 평균도 2.5이다. 표본의 평균이 모평균과 정확히 같은 경우는 3분의 1뿐이고, 나머지는 2나 3, 1.5나 3.5처럼 흔들린다. 표본평균이 어떻게 흔들리는지는 다음 절에서 다룬다. 아래 탐구 카드에서 뽑는 방법을 바꾸며 표본이 모집단을 얼마나 닮는지 직접 확인해 보자.
- 1936년 미국 대통령 선거에서 한 잡지는 약 240만 명에게 답을 받고도 결과를 크게 틀렸다. 전화와 자동차를 가진 비교적 부유한 사람들에게서 표본을 뽑았기 때문이다. 표본이 크더라도 편향은 사라지지 않는다.
표본조사는 모집단의 일부인 표본으로 전체를 추측하며, 믿을 만하려면 모든 대상이 같은 확률로 뽑히는 임의추출을 해야 한다. 치우친 방법으로 뽑은 표본은 아무리 커도 모집단과 다른 결과를 준다. 그래서 처음 질문의 정문 앞 20명은 가까이 사는 학생으로 쏠리기 쉬워, 전교생에게 번호를 붙여 무작위로 뽑은 20명이 더 믿을 만하다.