표본평균과 표본비율

같은 모집단에서 표본을 뽑을 때마다 표본평균은 조금씩 다르게 나온다. 표본의 크기를 4명에서 100명으로 늘리면 그 흔들림이 얼마나 줄어들까? 그리고 표본평균들은 어떤 모양으로 분포할까?

표본의 크기 \(n\) =

3.6.1표본평균도 확률변수이다

모집단에서 크기 \(n\)인 표본을 임의추출해 그 평균을 \(\overline{X}\)라 하자. 어떤 표본이 뽑히느냐에 따라 \(\overline{X}\)의 값이 달라지므로, \(\overline{X}\)도 확률분포를 갖는 확률변수이다. 이 분포를 알면 '한 번 뽑은 표본평균이 모평균에서 얼마나 떨어져 있을 수 있는가'를 말할 수 있다.

표본평균의 평균이 모평균과 같다는 것은 표본평균이 한쪽으로 치우치지 않는다는 뜻이다. 그리고 표준편차가 \(\sqrt{n}\)으로 나뉘므로, 표본을 4배로 늘리면 흔들림은 절반이 된다. 그림 1에서 \(n\)을 4에서 16, 64로 늘려 보면 분포의 폭이 절반씩 좁아진다.¹

여기서 두 표준편차를 섞어 쓰지 않도록 조심하자. 모표준편차 \(\sigma\)는 사람 하나하나가 얼마나 제각각인지를 나타내므로 표본을 아무리 크게 뽑아도 줄지 않는다. 반면 \(\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\)은 표본평균이라는 '추정값'이 얼마나 믿을 만한지를 나타내며 표본이 커질수록 줄어든다. 예를 들어 키의 표준편차가 6 cm인 학생 36명을 재었다면, 학생들의 키는 여전히 대략 6 cm씩 차이가 나지만 36명의 평균키는 모평균에서 대략 1 cm 안쪽으로 흔들릴 뿐이다. 자료가 얼마나 퍼져 있는지를 보고할 자리에 작은 쪽 값을 쓰면 실제보다 훨씬 고른 자료처럼 보이게 된다.

정리의 마지막 문장, 곧 모집단이 정규분포가 아니어도 된다는 말은 주사위로 확인할 수 있다. 주사위 하나의 눈은 1부터 6까지 모두 \(\tfrac{1}{6}\)씩이어서 분포가 평평하고 종 모양과 거리가 멀다. 그런데 주사위 두 개의 평균은 3.5가 가장 흔하고 양 끝으로 갈수록 드물어지는 삼각형 모양이 되고, 다섯 개, 열 개의 평균을 내면 점점 매끄러운 종 모양에 가까워진다. 평균을 내는 동안 큰 값과 작은 값이 서로 섞여 가운데로 몰리기 때문이다. 키나 측정 오차처럼 여러 작은 원인이 더해져 정해지는 값들이 종 모양을 자주 이루는 것도 같은 까닭으로 설명된다.

3.6.2표본비율

여론조사처럼 '찬성하는 사람의 비율'을 조사할 때는 표본 가운데 찬성하는 사람의 비율 \(\hat{p}\)를 쓴다. 모비율이 \(p\)이면 크기 \(n\)인 표본에서 찬성자 수 \(X\)는 이항분포 \(\mathrm{B}(n, p)\)를 따르고, \(\hat{p} = \dfrac{X}{n}\)이다. 따라서 \(E(\hat{p}) = p\), \(\sigma(\hat{p}) = \sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}\)이고, \(n\)이 크면 \(\hat{p}\)는 근사적으로 정규분포를 따른다.

3.6.3예제 풀이

\(\overline{X}\)는 평균 100, 표준편차 \(\dfrac{4}{\sqrt{16}} = 1\)인 정규분포를 따른다. 98을 표준화하면 \(Z = \dfrac{98 - 100}{1} = -2\)이므로 \(P(\overline{X} \le 98) = P(Z \le -2) = 0.5 - 0.4772 = 0.0228\)이다.

한 봉지만 보면 98 g 이하는 \(Z = -0.5\)에 해당해 꽤 흔하지만, 16봉지의 평균이 98 g 이하가 되는 일은 약 2.3%로 드물다. 평균을 내면 흔들림이 \(\tfrac{1}{4}\)로 줄기 때문이다.

표본비율의 표준편차는 \(\sqrt{\dfrac{0.5 \times 0.5}{100}} = 0.05\)이다. 100명에게 물으면 찬성 비율이 모비율에서 5%p 안팎으로 흔들린다는 뜻이다. 아래 탐구 카드에서 표본의 크기를 바꾸며 표본평균과 표본비율의 분포를 직접 확인해 보자.

1. 모집단이 정규분포가 아니어도 표본평균이 정규분포에 가까워진다는 성질을 중심극한정리라 한다. 대개 \(n \ge 30\)이면 정규분포로 근사해도 된다고 본다.