모평균과 모비율의 추정

여론조사 결과에는 "지지율 42%, 신뢰 수준 95%에 표본 오차 ±3.1%p"라는 말이 붙는다. 이 말은 진짜 지지율이 95%의 확률로 38.9%와 45.1% 사이에 있다는 뜻일까? 표본 하나로 모집단의 값을 범위로 추정하는 방법과 그 뜻을 정확히 알아보자.

표본 다시 뽑기

표본의 크기 \(n\) =

3.7.1표본평균에서 모평균으로

모집단이 정규분포 \(\mathrm{N}(m, \sigma^2)\)을 따르면 표본평균 \(\overline{X}\)는 \(\mathrm{N}\left(m, \tfrac{\sigma^2}{n}\right)\)을 따른다. 표준정규분포에서 \(P(-1.96 \le Z \le 1.96) = 0.95\)이므로, 표본평균은 95%의 확률로 모평균에서 \(1.96\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\) 이내에 있다.

이 문장을 뒤집으면, 모평균이 표본평균에서 \(1.96\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\) 이내에 있다는 말이 된다. 그래서 표본평균 \(\overline{x}\) 하나를 얻으면 그 둘레에 구간을 만들어 모평균을 추정한다.

3.7.295%의 정확한 뜻

모평균 \(m\)은 정해진 한 값이고, 흔들리는 것은 표본에서 얻은 구간이다. 그림 1의 슬라이더로 표본을 다시 뽑아 보자. 매번 다른 구간이 생기고, 그 가운데 대부분은 모평균을 품지만 가끔 빗나간다. 같은 방법으로 구간을 아주 많이 만들면 약 95%가 모평균을 품는다. 즉 '신뢰도 95%'는 이 방법으로 만든 구간이 모평균을 포함할 비율이다.¹

표본의 크기를 늘리면 구간의 길이 \(2 \times 1.96\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\)이 짧아진다. 신뢰도를 99%로 높이면 길어진다. 더 확실하게 맞히려면 더 넓은 그물을 던져야 하는 것이다.

3.7.3모비율의 추정

모비율도 같은 방법으로 추정한다. 표본비율 \(\hat{p}\)는 \(n\)이 크면 평균 \(p\), 표준편차 \(\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}\)인 정규분포에 가깝다. 모비율 \(p\)를 모르므로 표준편차의 \(p\) 자리에 \(\hat{p}\)를 넣어, 신뢰도 95%의 신뢰구간 \(\hat{p} - 1.96\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}} \le p \le \hat{p} + 1.96\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}}\)을 얻는다.

3.7.4예제 풀이

\(\hat{p} = 0.42\), \(n = 1000\)이므로 \(\sqrt{\dfrac{0.42 \times 0.58}{1000}} \approx 0.0156\)이다. 여기에 1.96을 곱하면 약 0.031이다. 따라서 신뢰구간은 \(0.42 - 0.031 \le p \le 0.42 + 0.031\), 곧 약 38.9%에서 45.1%이다.

'±3.1%p'는 바로 \(1.96 \times 0.0156 \approx 0.031\)이다. 여론조사 기관은 흔히 가장 불리한 경우인 \(\hat{p} = 0.5\)로 계산해 \(1.96\sqrt{\tfrac{0.25}{1000}} \approx 0.031\)을 공표한다.

이 구간이 '진짜 지지율이 95%의 확률로 그 안에 있다'는 뜻은 아니다. 진짜 지지율은 정해진 값이라 이 구간 안에 있거나 없거나 둘 중 하나이다. 같은 방법으로 조사를 되풀이하면 그렇게 만든 구간의 95%가 진짜 값을 품는다는 뜻이다. 아래 탐구 카드에서 신뢰구간을 여러 번 만들어 보며 그 뜻을 직접 확인해 보자.

1. 모표준편차 \(\sigma\)를 모르는 경우가 많다. 표본이 충분히 크면 \(\sigma\) 대신 표본표준편차를 써서 신뢰구간을 구한다.