부분공간

좌표공간에서 평면 \(x + y + z = 0\)은 원점을 지나고, 평면 위의 두 점을 위치벡터로 더해도, 실수배해도 다시 평면 위에 있다. 평면 \(x - y = 0\)도 마찬가지이다. 두 평면이 겹치는 부분은 원점을 지나는 직선인데, 이 직선도 같은 성질을 가질까? 그렇다면 두 평면을 합친 집합, 곧 어느 한 평면 위에 있는 점들의 모임은 어떨까? 두 평면에서 하나씩 고른 벡터를 더하면 그 합은 어디에 놓일까?

1.3.1벡터공간 안의 벡터공간

벡터공간 \(V\)의 부분집합 \(W\)가 \(V\)의 덧셈과 실수배로 그 자체 벡터공간이 되면 \(W\)를 \(V\)의 부분공간이라 한다. 교환법칙이나 분배법칙 같은 규칙은 \(V\)에서 이미 성립하므로 \(W\)에서도 저절로 성립한다. 그래서 \(W\)가 부분공간인지 확인하려면 영벡터를 포함하는지, 덧셈과 실수배에 닫혀 있는지만 보면 된다. 좌표공간 \(\mathbb{R}^3\)의 부분공간은 원점 하나, 원점을 지나는 직선, 원점을 지나는 평면, 그리고 공간 전체뿐이다.

교집합이 부분공간인 까닭은 간단하다. \(\vec u, \vec v\)가 두 부분공간에 모두 있으면 \(\vec u + \vec v\)도 두 부분공간 각각에 있으므로 교집합에 있고, 실수배도 마찬가지이다. 반면 합집합에서는 \(W_1\)에서 고른 벡터와 \(W_2\)에서 고른 벡터를 더하면 둘 중 어디에도 없을 수 있다. 예를 들어 \(x\)축 위의 \((1, 0, 0)\)과 \(y\)축 위의 \((0, 1, 0)\)을 더한 \((1, 1, 0)\)은 두 축 어디에도 없다.¹

1.3.2방정식으로 정해지는 부분공간

\(\mathbb{R}^3\)에서 \(ax + by + cz = 0\)처럼 상수항이 0인 일차방정식을 만족하는 점들은 언제나 부분공간이다. 두 해를 더해도, 실수배해도 방정식의 좌변이 0으로 남기 때문이다. 그런데 상수항이 0이 아니면 원점이 해가 아니므로 부분공간이 될 수 없다. 그래서 상수항이 0인 연립일차방정식의 해 전체는 늘 부분공간이고, 이를 그 연립방정식의 해공간이라 한다.

1.3.3예제 풀이

그림 2처럼 풀면 교집합은 \(t(1, 1, -2)\) 꼴의 벡터 전체이다. \(t = 0\)이면 영벡터이고, \(s(1, 1, -2) + t(1, 1, -2) = (s + t)(1, 1, -2)\), \(k\cdot t(1, 1, -2) = (kt)(1, 1, -2)\)이므로 덧셈과 실수배에 닫혀 있어 부분공간이다.

\(W_1\)에서 \(\vec u = (1, -1, 0)\)을, \(W_2\)에서 \(\vec v = (1, 1, 0)\)을 고르면 합은 \((2, 0, 0)\)이다. \(2 + 0 + 0 = 2 \ne 0\)이어서 \(W_1\)에 없고, \(2 - 0 = 2 \ne 0\)이어서 \(W_2\)에도 없다. 그래서 합집합은 덧셈에 닫혀 있지 않아 부분공간이 아니다. 즉 부분공간은 영벡터를 포함하고 덧셈과 실수배에 닫힌 부분집합이며, 두 부분공간의 교집합은 다시 부분공간이지만 합집합은 일반적으로 그렇지 않다.

아래 탐구 카드에서 좌표공간의 여러 평면과 직선이 부분공간인지 확인하고, 두 부분공간의 교집합이 부분공간임을 증명해 보자.

1. 두 부분공간을 모두 포함하는 가장 작은 부분공간은 합집합이 아니라 두 공간의 벡터를 더한 것들을 모두 모은 합공간 \(W_1 + W_2\)이다. 위 예의 두 평면의 합공간은 좌표공간 전체가 된다.