일차독립과 일차종속

세 벡터 \((1, 2, 3)\), \((4, 5, 6)\), \((7, 8, 9)\)를 몇 배씩 더해 좌표공간의 점을 만들려 한다. 세 방향이 있으니 공간의 어느 점이든 만들 수 있을 것 같은데, 실제로 해 보면 만들 수 있는 점이 모두 원점을 지나는 한 평면 위에 놓인다. 예를 들어 \((1, 0, 0)\)은 아무리 해도 만들 수 없다. 세 벡터 가운데 하나가 쓸모없는 셈인데, 겉보기에는 셋 다 다른 방향이다. 무엇이 세 벡터를 한 평면에 가두었을까?

1.4.1새 방향을 더하는가

벡터 \(\vec v_1, \ldots, \vec v_m\)의 일차결합 전체는 부분공간을 이루며, 이를 그 벡터들이 생성하는 공간이라 한다. 벡터를 하나 더할 때 생성하는 공간이 커지려면, 새 벡터가 이미 있는 벡터들의 일차결합이 아니어야 한다. 이미 있는 벡터들로 만들 수 있는 벡터를 더하면 생성하는 공간은 그대로이다. 그래서 어떤 벡터도 나머지의 일차결합으로 쓸 수 없을 때 그 벡터들을 일차독립이라 하고, 하나라도 쓸 수 있으면 일차종속이라 한다.

계수가 모두 0인 관계는 어떤 벡터들에도 있으므로 자명한 관계라 한다. 0이 아닌 계수가 하나라도 있는 관계가 있으면, 그 계수로 나누어 해당 벡터를 나머지의 일차결합으로 쓸 수 있다. 그래서 두 정의는 같은 말이다. 기하적으로 보면 \(\mathbb{R}^3\)의 세 벡터가 일차종속이라는 것은 세 벡터가 원점을 지나는 한 평면, 또는 한 직선 위에 놓인다는 뜻이고, 세 벡터가 만드는 평행육면체의 부피가 0이라는 뜻이다.¹

1.4.2계산하기 전에 알아보기

몇 가지 경우는 계산하지 않아도 일차종속임을 알 수 있다. 영벡터가 들어 있으면 그 벡터에 1을 곱한 관계가 있으므로 종속이다. 한 벡터가 다른 벡터의 실수배이면 종속이다. 또 \(\mathbb{R}^n\)에서 벡터가 \(n\)개보다 많으면 반드시 종속인데, \(n\)개의 성분으로 세운 방정식보다 미지수가 많아 0이 아닌 해가 생기기 때문이다. 처음 질문의 세 벡터는 성분이 1씩 늘어나는 규칙이 같아서, 이웃한 두 벡터의 차가 모두 \((3, 3, 3)\)으로 같다는 데서 종속임을 짐작할 수 있다.

1.4.3예제 풀이

세 벡터를 열로 하는 행렬식은 \(1(5\cdot9 - 6\cdot8) - 4(2\cdot9 - 3\cdot8) + 7(2\cdot6 - 3\cdot5) = -3 + 24 - 21 = 0\)이므로 일차종속이다. 관계 \(\vec v_1 - 2\vec v_2 + \vec v_3 = \vec 0\)에서 \(\vec v_3 = 2\vec v_2 - \vec v_1\)이어서, 생성하는 공간은 \(\vec v_1\)과 \(\vec v_2\)가 만드는 평면이다.

평면의 법선은 \(\vec v_1\times\vec v_2 = (2\cdot6 - 3\cdot5,\ 3\cdot4 - 1\cdot6,\ 1\cdot5 - 2\cdot4) = (-3, 6, -3)\)이고, 간단히 \((1, -2, 1)\)로 쓸 수 있다. 그래서 평면은 \(x - 2y + z = 0\)이다. \((1, 0, 0)\)을 넣으면 \(1 \ne 0\)이므로 평면 위에 없고, 세 벡터의 일차결합으로 만들 수 없다. 즉 벡터들 사이에 0이 아닌 계수의 관계가 있으면 일차종속이어서 어떤 벡터는 새 방향을 더하지 못하고, 그때 생성하는 공간은 벡터의 개수보다 낮은 차원에 갇힌다.

아래 탐구 카드에서 세 벡터를 바꾸며 생성하는 공간이 직선, 평면, 공간으로 바뀌는 모습을 보고, 계산하기 전에 일차독립인지 예측해 보자.

1. 자료 분석에서 두 변수가 서로의 실수배에 가까우면 일차종속에 가까워, 둘을 함께 넣은 회귀 모형의 계수가 매우 불안정해진다. 이를 다중공선성이라 하며, 키와 팔 길이같이 서로 비례하는 변수를 함께 쓸 때 자주 생긴다.