정역학 평형과 연직 운동
본문지표의 기압은 약 1013 hPa이고, 위로 올라갈수록 기압은 낮아진다. 아래쪽 압력이 크니 공기는 위로 밀려 올라가야 할 것 같다. 반대로 공기도 무게가 있으니 중력에 끌려 바닥으로 가라앉아야 할 것 같다. 그런데 대기는 수십 km 높이까지 고르게 퍼진 채 머물러 있다. 두 힘은 어떻게 균형을 이룰까? 그리고 그 균형이 조금 깨지면 무슨 일이 일어날까?
3.4.1정역학 평형
두께 \(\Delta z\)인 얇은 공기층을 생각하자. 아래 면은 위 면보다 기압이 \(\Delta P\)만큼 크므로 위로 미는 힘을 받고, 공기층의 무게는 아래로 작용한다. 두 힘이 같으면 공기층은 위로도 아래로도 가속하지 않는다. 이를 정역학 평형이라 한다.
공기의 밀도를 \(\rho\)라 하면 \[\frac{\Delta P}{\Delta z} = -\rho g\] 이다. 위로 갈수록 기압이 줄어드는 비율은 그곳 공기의 밀도에 비례한다. 온도가 일정하다고 어림하면 기압은 높이에 대해 지수적으로 줄어 \(P = P_0e^{-z/H}\)이며, \(H\)는 약 8 km이다.
그림 1에서 높이를 바꾸어 보자. 에베레스트 산 꼭대기(8.8 km)는 기압이 지표의 약 3분의 1이다. 16 km에서는 약 7분의 1이 되어 대기 질량의 85% 이상이 그 아래에 있다. 즉 대기는 지구 크기에 비하면 매우 얇은 껍질이다.1
3.4.2연직 운동
대기는 거의 정역학 평형을 이루지만, 아주 조금 어긋나면 공기가 위아래로 움직인다. 지표 가까이에서 공기가 한곳으로 모여드는 저기압 중심에서는 모인 공기가 갈 곳이 없어 위로 올라간다. 올라간 공기는 단열 팽창으로 식어 구름과 비를 만든다. 반대로 고기압 중심에서는 위에서 공기가 내려와 지표에서 퍼져 나가며, 내려오는 공기는 단열 압축으로 데워져 구름이 사라지고 날씨가 맑다. 연직 운동의 빠르기는 1초에 수 cm 정도로 수평 바람보다 훨씬 느리지만, 날씨를 결정한다.
3.4.3예제 풀이
지표 공기의 밀도는 약 1.2 kg/m³이다. 정역학 방정식으로 지표에서 높이 100 m 올라갈 때 기압이 얼마나 낮아지는지 구하여라. 또 \(P = 1013e^{-z/8}\) hPa로 높이 3 km의 기압을 구하여라. (\(g = 9.8\) m/s²)
\(\Delta P = -\rho g\Delta z = -1.2 \times 9.8 \times 100 \approx -1180\) Pa, 곧 약 12 hPa 낮아진다. 그래서 높은 건물의 엘리베이터를 타면 귀가 먹먹해지고, 기압계로 높이를 잴 수 있다.
높이 3 km의 기압은 \(1013 \times e^{-3/8} \approx 1013 \times 0.687 \approx 696\) hPa이다. 그런데 100 m당 12 hPa씩 일정하게 줄어든다고 계산하면 3 km에서 약 650 hPa가 된다. 차이가 생기는 것은 위로 갈수록 공기가 희박해져 같은 높이를 올라도 기압이 덜 줄기 때문이다. 즉 기압이 지수적으로 줄어드는 것은 밀도가 기압에 비례하기 때문이다.
아래 탐구 카드에서 공기가 떠오르지도 가라앉지도 않는 까닭을 직접 따져 보자.
- 척도 높이 \(H = \frac{RT}{Mg}\)는 기온에 비례한다. 기온이 높으면 공기가 위로 더 넓게 퍼져, 같은 높이에서도 기압이 덜 낮다. 이 차이가 높은 곳에서 기압의 수평 차이를 만들어 바람을 일으킨다.
공기층이 받는 위아래 기압 차의 힘과 무게가 같은 정역학 평형 때문에 대기는 떠오르지도 가라앉지도 않으며, 기압은 높이에 따라 대략 \(e^{-z/8\,\text{km}}\)로 줄어든다. 이 평형이 조금 어긋나면 저기압에서는 상승, 고기압에서는 하강 기류가 생긴다. 그래서 처음 질문의 공기는 아래에서 미는 기압 차의 힘과 중력이 균형을 이루어 제자리에 머문다.