삼투압으로 고분자 화학식량 구하기

어떤 단백질 2.00 g을 물에 녹여 100 mL 용액을 만들었다. 이 용액의 어는점을 재려 했지만 0.001 °C까지 읽는 온도계로도 맹물과 차이가 보이지 않았다. 그런데 같은 용액을 반투막 주머니에 넣어 가는 관을 꽂고 맹물에 담갔더니, 하루 뒤 관 속 용액이 4.2 cm 올라가 멈췄다. 같은 용액인데 어는점은 거의 바뀌지 않고 액체 기둥은 눈에 보일 만큼 솟았다. 이 높이로 단백질 한 분자의 질량을 알 수 있을까?

2.14.1막을 지나는 쪽은 물뿐

반투막은 물 분자처럼 작은 분자는 통과시키고 단백질 같은 큰 분자는 막는다. 막 양쪽에서 물 분자가 오가는데, 용액 쪽은 물 분자의 비율이 작아 막을 건너가는 물이 적다. 그래서 맹물 쪽에서 용액 쪽으로 물이 더 많이 들어온다. 이렇게 들어오는 물을 막으려면 용액 쪽에 압력을 더 걸어야 하는데, 그 압력이 삼투압이다. 관을 꽂아 두면 들어온 물이 용액 기둥을 밀어 올리고, 기둥의 압력이 삼투압과 같아지면 멈춘다.

이 식은 이상 기체 방정식 \(p = (n/V)RT\)과 꼴이 같다. 용액 속 용질 입자가 기체 분자처럼 막을 두드리는 것은 아니지만, 묽은 용액에서는 입자의 수에만 기대는 같은 꼴의 관계가 성립한다. 삼투압은 어는점 내림과 같은 총괄성이지만 그 크기가 훨씬 크게 나타나, 몰 농도가 아주 작은 고분자 용액도 잴 수 있다.¹

2.14.2왜 고분자에는 삼투압인가

고분자는 한 분자가 아주 무거워서, 몇 g을 녹여도 분자 수, 곧 몰 농도가 매우 작다. 어는점 내림은 몰랄 농도에 1.86 °C를 곱하므로 0.0003 °C쯤밖에 안 되어 잴 수 없다. 그러나 같은 몰 농도의 삼투압은 수백 Pa이어서 물기둥 수 cm로 나타난다. 같은 용액에서 신호가 수만 배 큰 셈이다. 측정할 때는 온도를 일정하게 두고 기둥이 더 오르지 않을 때까지 충분히 기다린다. 용액 기둥이 올라가며 들어온 물이 용액을 조금 묽게 하므로, 관을 가늘게 하여 들어오는 물의 양을 줄인다.

2.14.3예제 풀이

\(\Pi = \rho gh = 1000 \times 9.8 \times 0.042 \approx 412\) Pa이다. 몰 농도는 \(c = \Pi/(RT) = 412/(8.314 \times 298.2) \approx 0.166\) mol/m³, 곧 \(1.66 \times 10^{-4}\) mol/L이다. 용액 0.100 L에 든 몰수는 \(1.66 \times 10^{-5}\) mol이므로 화학식량은 \(2.00/(1.66 \times 10^{-5}) \approx 1.2 \times 10^5\)이다.

묽은 수용액에서 몰랄 농도는 몰 농도와 거의 같으므로 어는점 내림은 \(1.86 \times 1.66 \times 10^{-4} \approx 3 \times 10^{-4}\) °C이다. 0.001 °C까지 읽는 온도계로는 보이지 않는 것이 당연하다. 즉 같은 총괄성이라도 고분자처럼 분자 수가 적은 용액은 신호가 큰 삼투압으로 재야 하고, 물기둥 몇 cm가 분자 하나가 물의 수천 배 무겁다는 것을 알려 준다.

아래 탐구 카드에서 반투막 위로 올라온 용액 기둥의 높이를 재어 고분자의 화학식량을 구해 보자.

1. 반트호프는 1886년 묽은 용액의 삼투압이 이상 기체 방정식과 같은 꼴임을 밝혔고, 이 연구로 1901년 첫 노벨 화학상을 받았다. 식물 세포가 팽팽하게 서 있는 것도 세포 안의 삼투압이 물을 끌어들이기 때문이다.