평행판 축전기의 전기 용량

20 cm × 20 cm로 자른 알루미늄 포일 두 장 사이에 복사 용지를 끼우고, 무거운 책으로 눌러 축전기를 만들었다. 전기 용량계로 재어 보니 종이 1장일 때 10.5 nF, 2장일 때 5.6 nF, 4장일 때 3.0 nF, 8장일 때 1.7 nF였다. 종이를 두 배로 늘리면 전기 용량이 대략 절반이 되지만, 정확히 절반은 아니다. 교과서의 식 \(C = \varepsilon A/d\)는 맞는 것일까? 이 측정값에서 종이의 유전 상수를 어떻게 구할 수 있을까?

종이 장수 (장당 0.1 mm)

3.2.1넓을수록, 가까울수록

축전기의 전기 용량은 같은 전압에서 얼마나 많은 전하를 모을 수 있는지를 나타낸다. 두 극판이 넓으면 전하가 퍼져 앉을 자리가 많아 전하를 더 많이 모은다. 두 극판이 가까우면 양극판의 전하가 서로를 강하게 끌어당겨, 같은 전압으로 더 많은 전하를 붙잡아 둔다. 그래서 전기 용량은 극판의 넓이에 비례하고 간격에 반비례한다. 극판 사이에 종이 같은 절연체를 끼우면 절연체의 분자들이 전기장 속에서 살짝 비틀려 극판의 전하를 일부 상쇄하므로, 같은 전압에서 더 많은 전하가 모인다.

그림 1에서 종이 장수를 바꾸어 보자. 전기 용량을 장수에 대해 그리면 반비례 곡선이 되어 식이 맞는지 눈으로 판단하기 어렵다. 그런데 간격의 역수 \(1/d\)에 대해 그리면, 식이 맞을 때 원점을 지나는 직선이 된다. 직선의 기울기는 \(\kappa\varepsilon_0 A\)이므로, 넓이를 알면 기울기에서 유전 상수를 구할 수 있다.

3.2.2직선이 원점을 지나지 않으면

실제 측정값을 \(1/d\)에 대해 그리면 직선이 원점보다 조금 위를 지나는 경우가 많다. 전기 용량계의 도선과 극판 가장자리도 작은 전기 용량을 갖고 있어서, 측정값마다 일정한 값이 더해지기 때문이다. 이 값은 간격과 상관없이 거의 일정하므로 직선의 절편으로 나타나고, 기울기에는 영향을 주지 않는다. 또 종이와 포일 사이에 공기층이 끼면 실제 간격이 종이 두께보다 커져 전기 용량이 작아지므로, 무거운 책으로 고르게 눌러 공기층을 줄인다.¹

3.2.3예제 풀이

기울기는 \(\kappa\varepsilon_0 A\)이다. 1.00 nF·mm를 SI 단위로 바꾸면 \(1.00 \times 10^{-9} \times 10^{-3} = 1.00 \times 10^{-12}\) F·m이다. 넓이는 \(0.2 \times 0.2 = 0.04\) m²이므로 \(\kappa = \dfrac{1.00 \times 10^{-12}}{8.85 \times 10^{-12} \times 0.04} \approx 2.8\)이다. 복사 용지의 유전 상수로 알맞은 값이다.

절편 0.49 nF는 종이를 아무리 두껍게 해도 남는 전기 용량으로, 도선과 극판 가장자리가 만드는 몫이다. 종이 8장일 때 측정값 1.7 nF에서 이것을 빼면 1.21 nF이고, 식으로 계산하면 \(2.8 \times 8.85 \times 10^{-12} \times 0.04 / 0.0008 \approx 1.24\) nF로 거의 같다. 처음 질문에서 장수를 두 배로 해도 전기 용량이 정확히 절반이 되지 않은 것은 이 일정한 몫 때문이다. 즉 \(1/d\)에 대한 직선 맞춤은 일정한 몫을 절편으로 떼어 내고, 기울기에서 식에 담긴 물리량을 정확히 끌어낸다.

아래 탐구 카드에서 포일과 종이로 축전기를 만들고, 종이 장수와 포일의 넓이를 바꾸어 \(C = \kappa\varepsilon_0 A/d\)를 확인해 보자.

1. 최초의 축전기는 1745년 무렵 네덜란드 레이던에서 만든 레이던병으로, 유리병 안팎에 금속박을 붙인 것이었다. 유리가 유전체 역할을 하여 많은 전하를 모을 수 있었고, 당시 사람들은 이 병으로 강한 전기 충격을 일으켜 보이곤 했다.