관찰과 귀납적 탐구
본문진자의 주기를 초시계로 재면 잴 때마다 값이 조금씩 다르다. 1.98초, 2.05초, 2.01초…. 이 값들로 '진자의 주기는 줄의 길이에 따라 정해진다'는 규칙을 찾으려면, 몇 번을 재고 어떤 조건을 바꾸어 봐야 할까? 백조 천 마리가 모두 하얗다고 해서 모든 백조가 하얗다고 말해도 될까? 관찰을 모아 규칙을 끌어내는 탐구는 어디까지 믿을 수 있을까?
2.1.1귀납적 탐구
여러 번의 관찰이나 측정에서 공통된 규칙을 찾아 일반적인 결론을 이끌어 내는 방법을 귀납적 탐구라 한다. 진자 실험에서는 줄의 길이, 추의 질량, 흔드는 각도를 하나씩 바꾸며 주기를 잰다. 나머지 두 가지는 처음과 똑같이 둔다. 그 결과 주기가 추의 질량과 작은 각도에는 거의 관계없고, 줄의 길이에 따라 달라진다는 규칙을 찾는다.
귀납으로 믿을 만한 규칙을 얻으려면 한 번에 한 변인만 바꾸고(변인 통제), 같은 조건을 여러 번 반복하며, 조건의 범위를 넓게 시험해야 한다. 그래도 관찰하지 않은 경우에 대해서는 규칙이 성립한다고 확신할 수 없다.
그림 1에서 측정 횟수를 늘려 보자. 한 번만 재면 반응 시간 오차 때문에 값이 0.1초쯤 어긋날 수 있다. 측정을 4번으로 늘리면 평균의 불확도가 절반, 16번이면 4분의 1이 된다. 그래서 진자 실험에서는 한 번의 주기 대신 10번 왕복하는 시간을 재어 10으로 나누기도 한다. 반응 시간 오차가 10번에 한 번만 들어가기 때문이다.1
2.1.2검은 백조
유럽 사람들은 수천 년 동안 하얀 백조만 보아 '모든 백조는 하얗다'고 믿었다. 그런데 1697년 오스트레일리아에서 검은 백조가 발견되었다. 그래서 귀납으로 얻은 결론은 아무리 많은 관찰로 뒷받침되어도, 반례 하나로 무너질 수 있다. 따라서 과학자는 귀납으로 얻은 규칙을 가설로 삼아, 아직 시험하지 않은 조건에서 다시 확인한다.
2.1.3예제 풀이
길이 1 m인 진자의 주기를 5번 재었더니 2.08, 1.95, 2.03, 1.97, 2.02초였다. 평균을 구하여라. 길이 0.25 m와 4 m에서도 재어 각각 1.0초, 4.0초를 얻었다. 길이와 주기 사이에 어떤 규칙이 있다고 귀납할 수 있는가?
평균은 \(\dfrac{2.08 + 1.95 + 2.03 + 1.97 + 2.02}{5} = \dfrac{10.05}{5} = 2.01\)초이다. 하나하나의 값은 0.07초까지 어긋나지만 평균은 이론값 2.01초와 거의 같다.
길이가 0.25, 1, 4 m로 4배씩 커질 때 주기는 1, 2, 4초로 2배씩 커졌다. 그래서 '주기는 길이의 제곱근에 비례한다'고 귀납할 수 있다. 하지만 세 조건만 시험했으므로, 0.01 m처럼 아주 짧거나 큰 각도로 흔들 때에도 성립하는지는 다시 확인해야 한다. 실제로 각도가 크면 주기가 조금 길어진다.
아래 탐구 카드에서 진자를 여러 조건에서 관찰하며 몇 번을 관찰해야 규칙을 믿을 수 있는지 직접 따져 보자.
- 이렇게 여러 번 반복해 평균을 내면 우연한 오차는 줄지만, 초시계가 늘 조금 빨리 가는 것 같은 한쪽으로 치우친 오차는 줄지 않는다. 그런 오차는 다른 측정 도구와 비교하여 찾는다.
귀납적 탐구는 여러 관찰에서 공통 규칙을 찾는 방법으로, 변인을 하나씩 통제하고 반복 측정하여 평균을 내며 조건의 범위를 넓게 시험할 때 믿을 만해진다. 그래도 반례 하나로 무너질 수 있어 규칙은 가설로 다시 확인한다. 그래서 처음 질문의 답은 '정해진 횟수는 없다'이다. 반복할수록 평균이 정확해지지만, 시험하지 않은 조건까지 확신하려면 새로운 조건에서 다시 확인해야 한다.