진자의 주기

길이 1 m인 진자를 10°만큼 당겼다 놓고 10번 왕복하는 시간을 재니 20.1 s였다. 30°로 당겨 다시 재니 20.4 s, 60°로 당기니 21.5 s였다. 진자의 주기는 진폭과 상관없다고 배웠는데 크게 흔들수록 시간이 길어졌다. 측정이 서툰 것일까, 아니면 그 규칙에 한계가 있는 것일까? 주기를 정하는 것은 무엇이고, 진자로 \(g\)를 재려면 어떻게 해야 할까?

진폭 (°)

2.6.1작은 각의 공식

길이 \(L\)인 줄에 매달린 추를 각 \(\theta\)만큼 기울이면, 중력의 성분 \(mg\sin\theta\)가 추를 아래로 되돌린다. 각이 작으면 \(\sin\theta \approx \theta\)이므로 복원력이 변위에 비례하고, 진자는 용수철 진자처럼 단진동을 한다. 이때 주기는 \(T_0 = 2\pi\sqrt{L/g}\)로 질량과 진폭에 상관없다. 질량은 복원력과 관성에 똑같이 들어가 지워지고, 진폭이 크면 그만큼 복원력도 커져 왕복 시간이 같아지는 것이다. 그런데 이 결과는 \(\sin\theta \approx \theta\)라는 어림에 기대고 있다. 각이 커지면 \(\sin\theta\)가 \(\theta\)보다 점점 작아져, 복원력이 단진동에서보다 약해지고 주기가 길어진다.

그림 1에서 진폭을 바꾸어 보자. 5°에서는 공식과의 차이가 0.05%로 보이지 않을 만큼 작다. 30°이면 1.7%로, 1 m 진자의 주기 2.007 s가 2.042 s가 된다. 90°에서는 18%나 길어지고, 어림식도 실제 값에서 벗어난다. 그래서 주기가 진폭과 상관없다는 규칙은 작은 진폭에서만 맞는 어림이다. 처음 질문의 측정은 서툴지 않았고, 이 한계를 정확히 잡아낸 것이다.¹

2.6.2작은 차이를 재려면

진폭 10°에서 늘어나는 시간은 한 주기에 0.004 s밖에 되지 않는다. 초시계를 누르는 반응의 흔들림 0.05 s보다 훨씬 작으므로, 한 주기만 재서는 진폭의 효과를 볼 수 없다. 10번 왕복하면 차이가 0.04 s, 50번 왕복하면 0.19 s로 쌓이지만, 반응 시간의 오차는 시작과 끝에서 한 번씩만 생긴다. 시계는 진자가 가장 빠르게 지나가는 가장 낮은 점에서 누르는 것이 좋다. 끝점에서는 진자가 느리게 멈췄다 돌아오므로 정확히 언제 멈췄는지 판단하기 어렵다.

2.6.3예제 풀이

주기는 \(T = 2.04\) s이고, 작은 각의 공식을 그대로 쓰면 \(g = 4\pi^2 L/T^2 = 39.48 \times 1.000/4.162 \approx 9.49\) m/s²로 3% 작다. 주기가 1.7% 길면 제곱 때문에 \(g\)는 3.4% 작게 나오는 것이다. 진폭을 보정하여 \(T_0 = T/(1 + \theta_0^2/16)\)로 바꾸면, \(\theta_0 = 30° = 0.524\) rad에서 보정 인자는 \(1 + 0.274/16 = 1.017\)이고 \(T_0 = 2.04/1.017 = 2.006\) s이다. 이 값으로 \(g = 39.48/4.024 \approx 9.81\) m/s²를 얻는다.

진폭 효과를 0.1% 안쪽으로 두려면 \(\theta_0^2/16 < 0.001\), 곧 \(\theta_0 < 0.126\) rad \(\approx 7°\)이어야 한다. 1 m 진자를 7° 기울이면 추는 옆으로 약 12 cm 움직이니, 손으로도 충분히 맞출 수 있다. 그래서 진자로 \(g\)를 잴 때는 진폭을 5° 안팎으로 작게 하고, 길이를 여러 가지로 바꾸어 \(T^2\)을 \(L\)에 대해 그린 직선의 기울기 \(4\pi^2/g\)를 쓴다. 이 방법은 추의 중심 위치를 잘못 잰 일정한 길이 오차도 절편으로 떼어 낸다.

아래 탐구 카드에서 진자의 길이, 질량, 진폭을 하나씩 바꾸며 주기를 재고, 어떤 변인이 주기를 정하는지 가려내 보자.

1. 하위헌스는 진폭에 상관없이 주기가 정확히 같으려면 추가 원이 아니라 사이클로이드라는 곡선을 따라 움직여야 한다는 것을 보였다. 그는 1673년 진자 양옆에 휜 판을 대어 줄이 그 곡선을 따르게 한 시계를 설계했다.