연구 보고서 작성
본문진자의 주기를 재어 중력 가속도를 구한 학생이 보고서에 'g = 9.80665 m/s²'라고 썼다. 계산기에 나온 숫자를 그대로 옮긴 것이다. 그런데 이 학생은 초시계로 진동 10번의 시간을 재었고, 손으로 누르는 초시계의 오차는 0.2초쯤이다. 소수점 아래 다섯째 자리까지 쓴 값은 이 실험이 정말 그만큼 정확했다고 말하는 셈이다. 보고서의 숫자는 몇 자리까지 써야 정직할까? 그리고 보고서의 다른 부분에는 무엇을 담아야 할까?
3.3.1오차의 전파
측정값은 언제나 오차를 가진다. 그 측정값으로 다른 양을 계산하면, 처음 측정의 오차가 계산 결과로 옮겨 간다. 곱과 나눗셈으로 계산한 양은 상대 오차가 더해지고, 거듭제곱이 있으면 그 지수만큼 곱해진다. 진자의 g는 길이를 주기의 제곱으로 나누므로, g의 상대 오차는 길이의 상대 오차에 주기의 상대 오차의 두 배를 더한 정도이다. 그래서 오차를 줄이려면 오차에 가장 크게 기여하는 측정을 찾아 개선해야 한다.
\(g = \dfrac{4\pi^2 L}{T^2}\)에서 상대 오차는 대략 \[\frac{\Delta g}{g} \approx \frac{\Delta L}{L} + 2\frac{\Delta T}{T}\]이다. 진동 \(N\)번의 시간을 오차 \(\Delta t\)로 재면 주기의 오차는 \(\Delta T = \Delta t/N\)로 줄어든다. 결과는 오차의 첫 유효 숫자가 나타나는 자리까지만 쓴다.
그림 1에서 두 값을 바꾸어 보자. 진동 10번을 ±0.2 s로 재면 주기의 상대 오차가 약 1%이고, 그 두 배인 2%가 g의 오차를 거의 다 차지한다. 그래서 g = 9.8 ± 0.2 m/s²로 써야 하며, 그 아래 자리의 숫자는 의미가 없다. 진동 50번을 재면 주기의 오차가 5분의 1로 줄어, g = 9.81 ± 0.06 m/s²까지 쓸 수 있다. 길이를 아무리 정밀하게 재도 시간 측정이 거칠면 결과가 좋아지지 않는다.1
3.3.2연구 보고서의 구성
연구 보고서는 다른 사람이 읽고, 따져 보고, 다시 해 볼 수 있도록 쓴다. 제목은 연구의 핵심을 구체적으로 담는다. 초록은 한 문단으로 목적, 방법, 주요 결과(숫자와 오차), 결론을 요약한다. 서론에는 연구 문제가 왜 중요한지와 선행 연구, 가설을 쓴다. 방법에는 재료, 기기, 실험 절차, 반복 수, 분석 방법을 다른 사람이 그대로 따라 할 수 있을 만큼 자세히 쓴다. 결과에는 표와 그래프를 해석 없이 제시하고, 토의에는 결과의 해석, 다른 설명, 한계, 후속 과제를 쓴다. 마지막으로 참고 문헌을 빠짐없이 밝힌다.
3.3.3예제 풀이
길이 1.000 ± 0.002 m인 진자의 진동 20번 시간을 40.12 ± 0.20 s로 쟀다. g와 그 오차를 구하고, 보고서에 쓸 값을 정하여라.
주기는 \(T = 40.12 \div 20 = 2.006\) s, 오차는 \(0.20 \div 20 = 0.010\) s이다. \(g = 4\pi^2 \times 1.000 \div 2.006^2 \approx 39.48 \div 4.024 \approx 9.81\) m/s²이다.
상대 오차는 \(0.002 \div 1.000 + 2 \times 0.010 \div 2.006 \approx 0.002 + 0.010 = 0.012\), 곧 1.2%이므로 \(\Delta g \approx 9.81 \times 0.012 \approx 0.12\) m/s²이다. 오차의 첫 자리가 소수 첫째 자리이므로 보고서에는 \(g = 9.8 \pm 0.1\) m/s²로 쓴다. 9.80665처럼 쓰면 실제보다 1000배 정확한 척하는 셈이다. 즉 숫자의 자릿수는 그 측정이 얼마나 믿을 만한지를 알리는 약속이다. 그래서 정직한 보고서는 값과 오차를 함께, 오차가 허락하는 자리까지만 쓴다.
아래 탐구 카드에서 초록과 그림의 빠진 점과 지나친 점을 찾아 고치고, 연구 보고서의 각 부분을 써 보자.
- 서로 독립인 오차는 단순히 더하기보다 제곱의 합의 제곱근으로 합치는 것이 더 정확하다. 그러면 위 예제의 상대 오차는 약 1.0%가 된다. 고등학교 보고서에서는 더하는 어림으로 충분하다.
측정값의 오차는 계산 결과로 번지며, 곱과 나눗셈에서는 상대 오차가 더해지고 거듭제곱에서는 지수만큼 곱해진다. 그래서 오차에 가장 크게 기여하는 측정을 개선하고, 결과는 오차의 첫 자리까지만 값과 오차를 함께 쓴다. 보고서는 초록, 서론, 방법, 결과, 토의, 참고 문헌으로 다른 사람이 검증하고 되풀이할 수 있게 쓴다. 처음 질문의 9.80665는 측정이 뒷받침하지 않는 자리까지 써서, 실험의 정밀도를 부풀려 알린 잘못이다.