가우스 법칙과 전기장

자동차가 달리다 벼락을 맞아도 안에 탄 사람은 대개 다치지 않는다. 비행기도 해마다 한두 번씩 벼락을 맞지만 승객은 모르고 지나간다. 고무 타이어 덕분이라고 흔히 말하지만, 실제로는 금속으로 된 차체가 중요하다. 수만 암페어의 전류가 쏟아지는데, 금속 상자 속은 어떻게 안전할까? 전하가 퍼져 있는 물체가 만드는 전기장을 일일이 더하지 않고 한 줄로 구하는 방법이 있을까?

중심에서의 거리 r/R

2.1.1전기 선속과 가우스 법칙

전기장 속에 면을 하나 두면, 그 면을 수직으로 뚫고 지나가는 전기력선의 수를 생각할 수 있다. 이것을 전기 선속이라 하고, 전기장의 면에 수직인 성분과 넓이의 곱 \(\Phi = E_\perp A\)로 계산한다. 점전하 \(q\)를 반지름 \(r\)인 구면으로 감싸면, 전기장 \(\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\)에 겉넓이 \(4\pi r^2\)을 곱해 선속이 \(q/\varepsilon_0\)이 된다. 반지름이 사라졌으므로 구면의 크기와 상관없다. 그리고 면이 찌그러져도 뚫고 나가는 전기력선의 수는 같다.

그림 1에서 거리를 바꾸어 보자. 전하가 고르게 찬 구에서 반지름 \(r\) 안에 든 전하는 부피의 비 \((r/R)^3\)만큼이다. 이를 \(4\pi r^2\)으로 나누면 구 안의 전기장은 \(r\)에 비례하여, 중심에서 0이고 겉면에서 가장 크다. 반면 전하가 껍질에만 있으면 안쪽의 가우스 면에는 전하가 하나도 없으므로 전기장이 0이다. 구 밖에서는 두 경우 모두 모든 전하가 중심에 모인 점전하와 같다.¹

2.1.2도체 속의 전기장

도체 속에는 자유롭게 움직이는 전자가 많다. 도체 안에 전기장이 조금이라도 있으면 전자가 움직이고, 전자는 그 전기장을 지우는 쪽으로 다시 배열될 때까지 움직인다. 그래서 정전기적 평형에 이른 도체 속의 전기장은 0이다. 가우스 법칙을 도체 속에 그린 면에 적용하면 그 안의 알짜 전하도 0이어야 하므로, 남는 전하는 모두 겉면에 모인다. 속이 빈 금속 상자라면 바깥에 어떤 전하가 와도 상자 안의 전기장은 0이다. 이를 정전기 차폐라 하며, 이런 상자를 패러데이 상자라 한다.

2.1.3예제 풀이

겉면(10 cm)에서는 모든 전하가 안에 들어 있으므로 \(E = 9.0 \times 10^9 \times \dfrac{2.0 \times 10^{-8}}{0.10^2} = 1.8 \times 10^4\) N/C이다. 5 cm에서는 안에 든 전하가 \((0.5)^3 = 1/8\)이고 거리가 반이므로 \(E = 9.0 \times 10^9 \times \dfrac{2.5 \times 10^{-9}}{0.05^2} = 9.0 \times 10^3\) N/C로, 겉면의 절반이다.

20 cm에서는 다시 모든 전하가 안에 있고 거리가 두 배이므로 겉면의 4분의 1인 \(4.5 \times 10^3\) N/C이다. 즉 구 안에서는 거리에 비례하고 밖에서는 거리의 제곱에 반비례한다. 같은 전하를 금속 공에 주었다면 전하가 모두 겉면으로 가서 5 cm에서의 전기장은 0이 된다. 그래서 금속 차체 안에 앉은 사람은 벼락의 전류가 차체 겉면을 따라 땅으로 흘러가는 동안 전기장 없는 공간에 머문다.

아래 탐구 카드에서 닫힌 면 하나로 여러 전하 분포의 전기장을 구해 보고, 알짜 전하가 0인 쌍극자가 전기장에서 어떻게 움직이는지 살펴보자.

1. 뉴턴도 같은 문제로 오래 고민했다. 지구의 모든 부분이 사과를 당기는 힘을 더하면 정말 지구 중심에 모든 질량이 모인 것과 같은지 증명하는 데 수년이 걸렸다. 중력도 거리의 제곱에 반비례하므로 가우스 법칙과 같은 방법이 통한다.