RC·RL 회로의 시간 상수

47 kΩ 저항과 100 μF 축전기를 5 V 전원에 직렬로 잇고 스위치를 넣었다. 축전기의 전압은 처음 2초 동안 1.73 V로 빠르게 올랐지만, 다음 2초에는 1.14 V, 그다음 2초에는 0.74 V만 올라 점점 느려졌다. 10초가 지나도 4.4 V로 아직 5 V에 이르지 못했다. 이 변화에는 회로가 정하는 시간 눈금이 하나 숨어 있다고 한다. 그 눈금은 무엇이고, 측정값에서 어떻게 정확히 찾아낼 수 있을까?

저항 (kΩ)

3.8.1남은 만큼에 비례하는 변화

스위치를 넣는 순간 축전기는 비어 있어서 전원의 5 V가 모두 저항에 걸리고 큰 전류가 흐른다. 전하가 쌓여 축전기의 전압이 오르면 저항에 걸리는 전압은 그만큼 줄고, 전류도 준다. 전류가 줄면 전하가 쌓이는 빠르기도 준다. 그래서 축전기의 전압이 오르는 빠르기는 아직 남은 전압 \(\mathcal{E} - V\)에 비례한다. 남은 만큼에 비례해 줄어드는 양은 지수 함수를 따르고, 그 빠르기를 정하는 시간 눈금이 시간 상수 \(\tau = RC\)이다.

그림 1에서 저항을 바꾸어 보자. 저항이 크면 전류가 작아 전하가 느리게 쌓이므로 곡선이 완만해지고, 시간 상수가 비례해서 길어진다. 시간 상수가 지날 때마다 남은 전압이 \(1/e \approx 0.37\)배로 줄어든다. 그래서 축전기는 이론적으로 영원히 다 차지 않지만, \(5RC\)가 지나면 남은 것이 1% 아래여서 실제로는 다 찬 것으로 본다.¹

3.8.2시간 상수를 재는 세 방법

첫째, 전압이 \(\mathcal{E}\)의 63%가 되는 시각을 그래프에서 읽는다. 간단하지만 점 하나에 기대므로 흔들림이 크다. 둘째, 남은 전압이 절반이 되는 시각 \(t_{1/2}\)을 읽어 \(\tau = t_{1/2}/\ln 2 \approx 1.44\,t_{1/2}\)로 구한다. 셋째, 모든 점을 쓰는 방법으로, \(\ln(1 - V/\mathcal{E})\)를 시간에 대해 그린다. 식을 바꾸면 \(\ln(1 - V/\mathcal{E}) = -t/RC\)이므로 이 그래프는 원점을 지나고 기울기가 \(-1/RC\)인 직선이다. 직선 맞춤의 기울기로 구한 시간 상수가 가장 믿을 만하다.

3.8.3예제 풀이

\(\tau = RC = 47 \times 10^3 \times 100 \times 10^{-6} = 4.7\) s이다. 그림 2의 아래 줄은 10초 동안 \(-2.13\)만큼 줄었으므로 기울기는 \(-0.213\) /s이고, \(\tau = 1/0.213 \approx 4.7\) s로 같다. 남은 전압이 절반, 곧 \(V = 2.5\) V가 되는 시각은 \(4.7 \times \ln 2 \approx 3.3\) s이고, 거꾸로 \(3.3 \times 1.44 \approx 4.7\) s를 얻는다.

220 μF로 바꾸면 \(\tau = 47 \times 10^3 \times 220 \times 10^{-6} \approx 10.3\) s이고, 99%에 이르려면 약 \(5\tau \approx 52\) s가 걸린다. 처음 질문에서 10초 뒤에 아직 4.4 V였던 것은 그때가 시간 상수의 두 배쯤이어서 남은 전압이 \(5 \times e^{-2.13} \approx 0.6\) V였기 때문이다. 즉 이 회로의 모든 변화는 \(RC\) 하나로 시간 눈금이 정해지고, 로그로 바꾼 직선이 그 눈금을 가장 정확히 드러낸다.

아래 탐구 카드에서 RC 회로의 충전 곡선을 기록하고, 세 가지 방법으로 시간 상수를 구해 비교해 보자.

1. 카메라의 플래시는 건전지로 큰 축전기를 몇 초 동안 충전했다가 한순간에 방전시켜 빛을 낸다. 충전에 걸리는 시간은 회로의 시간 상수로 정해지므로, 플래시를 연달아 터뜨리면 다음 충전을 기다려야 한다.