교류와 RLC 회로의 공진

지금 우리 주변에는 수십 개 방송국의 전파가 한꺼번에 지나가고 있다. 라디오 안테나에는 이 모든 전파가 만든 작은 전류가 뒤섞여 흐른다. 그런데 다이얼을 돌리면 그중 하나의 방송만 또렷하게 들린다. 라디오 속의 회로는 어떻게 특정한 진동수의 전류만 크게 키우고 나머지는 거의 막을까? 코일과 축전기가 함께 있는 교류 회로에서 무슨 일이 일어날까?

진동수 (Hz)

저항 R (Ω)

2.6.1리액턴스와 위상

코일에 교류 전류 \(I_0 \sin\omega t\)가 흐르면, 코일 양 끝의 전압은 \(L\dfrac{dI}{dt} = \omega L I_0 \cos\omega t\)로 전류보다 4분의 1주기 앞선다. 전압의 진폭을 전류의 진폭으로 나눈 \(X_L = \omega L\)을 유도 리액턴스라 한다. 진동수가 높을수록 전류가 빨리 변하므로 코일이 더 세게 막는다. 반대로 축전기의 전압은 쌓인 전하에 비례하여 전류보다 4분의 1주기 늦고, 용량 리액턴스는 \(X_C = \dfrac{1}{\omega C}\)이다. 진동수가 높을수록 축전기는 전류를 잘 통과시킨다.

그림 1에서 진동수를 바꾸어 보자. \(L = 10\) mH, \(C = 1\) μF이면 공진 진동수는 약 1592 Hz이다. 여기서 두 리액턴스가 모두 약 100 Ω으로 같아 서로 지우고, 저항 10 Ω만 남아 전류가 100 mA로 가장 크다. 1000 Hz로 내려가면 용량 리액턴스가 159 Ω, 유도 리액턴스가 63 Ω이라 차이가 96 Ω이 되어 전류가 약 10 mA로 줄어든다. 저항을 키우면 봉우리가 낮고 넓어져, 이웃한 진동수를 잘 가르지 못한다.¹

2.6.2공진으로 방송을 고르기

라디오의 동조 회로는 코일과 가변 축전기로 되어 있다. 다이얼을 돌리면 축전기 극판의 겹친 넓이가 변해 \(C\)가 바뀌고, 공진 진동수가 원하는 방송국의 진동수에 맞춰진다. 그러면 그 방송의 전류만 크게 흐르고, 진동수가 다른 방송의 전류는 큰 임피던스에 막혀 작아진다. 공진 때 코일과 축전기는 에너지를 서로 주고받으며, 그 사이에 저항이 에너지를 조금씩 열로 바꾼다. 저항이 작을수록 공진이 날카로워져, 이웃 방송과 섞이지 않고 깨끗하게 들린다.

2.6.3예제 풀이

\(f_0 = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\)에서 \(C = \dfrac{1}{4\pi^2 f_0^2 L} = \dfrac{1}{39.5 \times (10^6)^2 \times 2.5 \times 10^{-4}} \approx 1.0 \times 10^{-10}\) F, 곧 약 100 pF이다.

공진 진동수는 \(\sqrt C\)에 반비례하므로, 진동수를 0.6배로 낮추려면 용량을 \(1/0.6^2 \approx 2.8\)배인 약 280 pF로 키워야 한다. 그래서 AM 라디오의 가변 축전기는 수십 pF에서 수백 pF까지 바꿀 수 있게 만든다. 즉 다이얼 하나로 축전기의 용량을 바꾸면 회로가 공진하는 진동수가 바뀌어, 원하는 방송만 골라 들을 수 있다.

아래 탐구 카드에서 코일과 축전기의 전압을 더하면 왜 전원 전압보다 커질 수 있는지 확인하고, 진동수를 바꾸며 RLC 회로의 공진을 측정해 보자.

1. 공진 때 코일과 축전기 각각의 전압은 전원 전압보다 훨씬 클 수 있다. 그림 1의 회로에서는 두 소자에 각각 약 10 V가 걸리는데, 서로 반대 위상이라 전원에는 1 V만 보인다.