흑체 복사와 분광 분류

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거의 모든 별은 질량의 70% 남짓이 수소로 되어 있다. 그런데 별빛의 스펙트럼에 나타나는 수소의 발머 흡수선은 별마다 진하기가 크게 다르다. 표면 온도 약 1만 K인 시리우스에서는 발머선이 아주 진하고, 약 5800 K인 태양에서는 약하며, 3만 K가 넘는 뜨거운 별에서도 약하다. 수소의 양이 비슷한데 왜 흡수선의 세기가 다를까? 흡수선은 별의 성분보다 무엇을 더 많이 알려 줄까?

별의 표면 온도 (K)

그림 1. 볼츠만 식(들뜬 원자의 비율)과 사하 식(이온화 비율)으로 계산한, n = 2 준위에 있는 중성 수소의 상대량(전자 압력 20 N/m²). 이 양이 발머 흡수선의 세기를 정한다.

먼저 알아야 할 것별의 스펙트럼과 분광형, 흑체 복사(지구과학), 수소 원자의 에너지 준위(물리학), 별까지의 거리(별까지의 거리).

3.4.1흑체 복사로 재는 온도와 광도

별은 거의 흑체처럼 빛을 낸다. 흑체가 가장 세게 내는 빛의 파장은 온도에 반비례하여 \(\lambda_{\max} = \dfrac{2.90 \times 10^{-3}\ \text{m·K}}{T}\)이다(빈 법칙). 그래서 뜨거운 별은 파랗고 차가운 별은 붉다. 그리고 단위 넓이에서 나오는 에너지는 \(\sigma T^4\)이므로, 반지름 \(R\)인 별의 광도는 \(L = 4\pi R^2\sigma T^4\)이다(슈테판–볼츠만 법칙). 별의 색으로 온도를 알고, 광도와 온도를 알면 별의 반지름도 구할 수 있다.

정리 3.4.1 흡수선의 세기를 정하는 것

발머선은 n = 2 준위에 있는 중성 수소 원자가 빛을 흡수할 때 생긴다. n = 2에 있는 원자의 비율은 볼츠만 식 \(\dfrac{N_2}{N_1} = 4e^{-10.2\ \text{eV}/kT}\)에 따라 온도가 높을수록 커지지만, 온도가 너무 높으면 사하 식에 따라 수소가 이온화되어 중성 수소 자체가 사라진다. 두 효과가 맞서 발머선은 약 1만 K에서 가장 강하다.

그림 1에서 표면 온도를 바꾸어 보자. 태양 정도의 5800 K에서는 n = 2에 올라간 수소가 아주 적어 발머선이 약하다. 온도가 오르면 들뜬 수소가 빠르게 늘어 약 1만 K에서 최대가 된다. 그보다 뜨거우면 수소 대부분이 이온화되어 발머선이 다시 약해진다. 그래서 흡수선의 세기는 성분보다 온도를 알려 주는 온도계이다. 별의 분광형 O, B, A, F, G, K, M은 이렇게 흡수선의 모양으로 정한 온도의 순서이다.¹

3.4.2흡수선으로 읽는 압력과 크기

같은 온도라도 대기의 밀도가 다르면 흡수선의 모양이 달라진다. 밀도가 큰 주계열성의 대기에서는 원자들이 자주 부딪쳐 흡수선이 넓게 퍼진다. 반지름이 아주 큰 초거성의 대기는 밀도가 작아 흡수선이 가늘고 날카롭다. 그리고 밀도가 작으면 전자가 적어 이온이 다시 전자를 붙잡기 어려우므로, 같은 온도에서도 이온화가 더 잘 일어난다. 그래서 흡수선의 폭과 이온의 흡수선을 보면 별이 주계열성인지 거성인지를 알 수 있다. 이것을 광도 등급(I~V)으로 나타내며, 태양은 G2V형이다.

그림 2. 분광형은 흡수선의 모양으로 정한 표면 온도의 순서이다.

3.4.3예제 풀이

예제 3.4.2

시리우스 A의 표면 온도는 약 9900 K이고 광도는 태양의 약 25배이다. 이 별이 가장 세게 내는 빛의 파장과, 태양(5800 K)과 견준 반지름을 구하여라.

빈 법칙에서 \(\lambda_{\max} = 2.90 \times 10^{-3} \div 9900 \approx 2.9 \times 10^{-7}\) m, 곧 약 290 nm로 자외선이다. 그래서 시리우스는 눈에 푸르스름한 흰색으로 보인다.

\(L \propto R^2T^4\)이므로 \(\dfrac{R}{R_\odot} = \sqrt{\dfrac{L}{L_\odot}}\left(\dfrac{T_\odot}{T}\right)^2 = \sqrt{25} \times \left(\dfrac{5800}{9900}\right)^2 \approx 5 \times 0.343 \approx 1.7\)이다. 시리우스는 태양보다 약 1.7배 크다. 즉 별빛 하나에서 색으로 온도를, 흡수선으로 다시 온도와 대기의 밀도를, 광도와 함께 크기까지 알아낸다. 그래서 별빛의 스펙트럼은 별에 가지 않고도 별의 몸을 재는 자이다.

아래 탐구 카드에서 흑체 복사의 식으로 별의 온도와 광도를 계산하고, 흡수선의 세기가 온도로 정해지는 까닭을 확인해 보자.

1925년 세실리아 페인은 사하 식으로 별의 스펙트럼을 분석해, 별이 대부분 수소와 헬륨으로 되어 있음을 처음 밝혔다. 그때까지는 별이 지구와 비슷한 성분일 것이라 믿었다.

마무리

별은 흑체처럼 빛을 내어, 색으로 온도를, 광도와 온도로 반지름을 구할 수 있다. 흡수선의 세기는 원자가 들뜬 비율(볼츠만 식)과 이온화된 비율(사하 식)이 함께 정하므로 성분보다 온도에 따라 크게 달라지고, 흡수선의 폭은 대기의 밀도, 곧 별의 크기를 알려 준다. 그래서 처음 질문의 시리우스는 n = 2에 들뜬 중성 수소가 가장 많은 약 1만 K라서, 태양보다 발머선이 훨씬 진하다.

탐구 1

플랑크 곡선 하나에서 빈 법칙과 T⁴ 법칙이 어떻게 함께 나올까?

흑체 복사 법칙의 유도 · 광도와 등급 · 색지수

표면 온도 T = — K

반지름 R = 1.0 R☉

λ_max (곡선의 꼭대기): —
π∫B_λdλ (수치 적분): —
광도 L / 절대 복사 등급: —
흑체의 B − V: —

h, c, k, σ는 CODATA 값, L☉ = 3.828 × 10²⁶ W, M_bol,☉ = 4.74(IAU 2015)이다. 적분은 10 nm–100 μm 구간을 수치로 더한 값이다. B, V 필터는 중심 440 nm·550 nm, 반치폭 98 nm·89 nm인 가우스 모양으로 근사했고, 흑체 9600 K에서 B − V = 0이 되게 영점을 맞췄다. 별의 온도와 반지름은 문헌의 대표값이다.

질문시리우스 B는 태양보다 훨씬 뜨겁지만 우리 눈에는 거의 안 보이고, 베텔게우스는 차가운데도 태양의 10만 배쯤 밝다. 온도, 반지름, 밝기, 색 사이의 정확한 관계는 어디서 나올까? 빈 법칙과 슈테판–볼츠만 법칙은 따로 외워야 하는 두 법칙일까?
복원흑체가 단위 넓이, 단위 입체각, 단위 파장마다 내는 복사 세기는 플랑크 법칙 B_λ(T) = (2hc²/λ⁵) · 1/(e^hc/λkT − 1)를 따른다. 진동수 ν인 빛의 에너지가 hν 단위로만 주고받아진다는 가정에서 나온 식이다. 등급은 밝기의 로그 눈금이며, 5등급 차가 밝기 100배이다.
설명x = hc/λkT로 바꾸면 B_λ = (2k⁵T⁵/h⁴c³) · x⁵/(e^x − 1)이다. 온도는 앞의 상수 T⁵에만 들어가므로 곡선의 모양은 x 하나로 정해진다. ① 꼭대기는 d/dx[x⁵/(e^x−1)] = 0에서 x = 5(1 − e^−x), 풀면 x = 4.965이므로 λ_maxT = hc/(4.965k) = 2.898 × 10⁻³ m·K(빈 법칙). ② 넓이는 dλ = −(hc/kT)dx/x²를 넣으면 ∫B_λdλ = (2k⁴T⁴/h³c²)∫x³/(e^x−1)dx이고 이 적분은 π⁴/15이다. 표면 밖으로 나가는 복사를 모두 더하면(π를 곱함) F = σT⁴, σ = 2π⁵k⁴/(15h³c²) = 5.67 × 10⁻⁸ W/(m²·K⁴)이다(슈테판–볼츠만 법칙).
연결별 전체가 내는 에너지는 L = 4πR²σT⁴이고, 절대 복사 등급은 M_bol = 4.74 − 2.5 log(L/L☉)이다. 한편 B 필터와 V 필터로 잰 밝기의 비는 R과 거리가 모두 약분되고 T만 남으므로, 색지수 B − V는 거리를 몰라도 온도를 알려 준다. 그래서 H–R도의 가로축에는 온도 대신 B − V나 분광형을 놓을 수 있고, 같은 온도에서 위로 갈수록 반지름이 크다.
적용온도를 바꾸며 위 그래프의 꼭대기와 아래 그래프를 비교해 보자. 아래 그래프에서 두 곡선이 언제나 겹치는 까닭은 무엇인가? T를 2배로 하면 λ_max, 적분값, B − V는 각각 어떻게 되는가? 별 버튼을 눌러 시리우스 B와 베텔게우스의 L과 M_bol을 비교해 보자. 태양에서 수치 적분값이 σT⁴과 같은지도 확인해 보자.
판단별은 완전한 흑체가 아니다. 대기의 흡수선이 짧은 파장 쪽 빛을 많이 가려서 실제 태양의 B − V는 0.65인데 같은 온도 흑체는 약 0.47이다. 그래서 별의 온도는 L = 4πR²σT_eff⁴를 만족하는 유효 온도로 정의하고, 색지수와 온도의 관계는 실제 별로 보정해 쓴다. 또 성간 티끌은 푸른빛을 더 많이 가려서 B − V를 크게(붉게) 만들므로, 소광을 보정하지 않으면 온도를 낮게 잡는다.

확인조건이 달라지면

표면 온도가 태양의 2배이고 반지름이 태양의 절반인 별이 있다. 이 별의 절대 복사 등급은 약 얼마인가? (태양 4.74)

탐구 2

같은 사진 속 비교성을 쓰면 구름이 껴도 별의 등급을 정확히 잴 수 있을까?

실험 · CCD 차등 측광 · 기기 등급과 표준 등급 · 색지수

별의 고도 h = 60° (대기량 X = 1.15)

엷은 구름 (프레임마다 투과율이 바뀜)

프레임: —
표적 V: —
표적 B − V: —
표면 온도: —

그래프

기기 등급 m = −2.5 log(N/t), 노출 t = 30 s, 구경 안 화소 50개, 하늘 배경 300카운트/화소, 읽기 잡음 10 e⁻. 비교성의 표준 등급과 대기 소광 계수(k_V = 0.22, k_B = 0.36)는 학교 관측지를 가정한 예시값이다. 온도는 B − V를 왜성 표준표(Pecaut & Mamajek 2013)에 대어 읽는다.

탐구 문제CCD가 세는 것은 별빛이 만든 전자 수(카운트)뿐이다. 망원경·필터·대기 상태가 매번 다른데, 카운트로 어떻게 누구에게나 통하는 표준 등급과 색지수를 얻을까?
복원등급은 밝기의 로그 눈금이다. 카운트 N으로 기기 등급 m = −2.5 log(N/t)를 정하면, 표준 등급과는 영점, 대기 소광(k·X), 필터 차이(색 항)만큼 다르다. 대기량 X는 천정에서 1이고 고도 h가 낮을수록 약 1/sin h로 커진다.
설계표준 등급을 아는 비교성 여러 개와 표적 별을 같은 사진에 담아 B, V 필터로 찍는다. 같은 사진의 별은 대기량과 구름의 영향을 똑같이 받으므로, 비교성에서 구한 변환식 V − v = ε(B − V) + ζ를 표적에 그대로 쓰면 그 영향이 지워진다(차등 측광). 색지수는 B − V = μ(b − v) + ζ_BV로 바꾼다.
분석마지막 프레임의 비교성으로 V − v를 (B − V)에 대해 직선 맞춤하면 기울기가 색 항 ε, 절편이 그 프레임의 영점이다. 표적의 B − V를 먼저 구하고 V를 계산한다. B − V가 작을수록 푸르고 뜨겁다(0.65 근처면 태양과 비슷한 약 5,800 K).
측정고도를 바꿔 가며 5장 이상 찍고 '프레임별 표적 V'를 보자. 구름을 켜고 다시 찍어도 표적 V가 흔들리지 않는가? '대기량–기기 등급' 그래프에서 비교성 C1의 기울기로 소광 계수 k_V를 구해 보자(구름이 없을 때).
오차·안전어두운 별은 카운트가 적어 포아송 잡음(√N)과 하늘 배경 잡음이 상대적으로 커진다(우연 오차). 비교성과 표적의 색이 많이 다르면 색 항을 빼먹을 때 계통 오차가 남는다. 고도가 낮으면 대기 소광이 크고 별이 흐려지므로 가능하면 고도 30° 이상에서 찍는다. 소광 계수는 맑은 밤에만 일정하므로, 구름이 있으면 다른 사진의 영점을 빌려 쓰는 절대 측광은 쓸 수 없다. 밤 관측 때 냉각 CCD의 전원·전선을 정리해 걸려 넘어지지 않게 한다.

확인조건이 달라지면

첫 사진(X = 1.2)에서 구한 영점을, 구름이 지나가는 중에 찍은 둘째 사진(X = 1.8)의 표적 별에 그대로 썼다. 무엇이 문제일까?

탐구 3

수소가 가장 많은 태양에서 왜 칼슘 흡수선이 수소선보다 진할까?

분광 분류의 물리 · 볼츠만 분포와 사하 식 · 광도 계급

표면 온도 T = — K

대기의 전자 압력 P_e = 20 Pa

H n = 2 / 전체 H: —
Ca II 바닥 상태 / 전체 H: —
Ca II ÷ H(n = 2): —
발머선 흡수자가 가장 많은 T: —

대기를 온도 T, 전자 압력 P_e가 일정한 한 층으로 본 모식이다(실제 별의 P_e는 온도에 따라서도 달라짐). 이온화 에너지 H 13.6 eV, Ca 6.11 eV·11.87 eV, 분배 함수 Ca I 1.32·Ca II 2.30·Ca III 1.00, 태양의 Ca/H 수 비 2.2 × 10⁻⁶을 썼다. 세로축은 로그 눈금이다. 흡수선의 실제 세기는 흡수자 수 외에 전이 확률, 선의 폭에도 달려 있다.

질문태양 대기에는 칼슘 원자 하나당 수소 원자가 약 45만 개 있다. 그런데 태양 스펙트럼에서 가장 진한 선은 수소의 발머선이 아니라 이온화된 칼슘(Ca II)의 H, K선이다. 반대로 시리우스 같은 A형 별에서는 발머선이 가장 진한다. 원소의 양이 아니라면 무엇이 흡수선의 세기를 정할까?
복원발머선(Hα, Hβ …)은 수소 원자의 전자가 n = 2 준위에서 위로 올라가며 빛을 흡수할 때 생긴다. 바닥 상태(n = 1)의 전자는 발머선을 흡수하지 못한다. 원자가 전자를 잃으면(이온화) 그 원자의 선은 사라진다. 온도가 높을수록 입자의 평균 운동 에너지 kT가 크다.
설명들뜬 준위의 비율은 볼츠만 분포 N₂/N₁ = (g₂/g₁)e^{−(E₂−E₁)/kT}를 따른다(수소는 g₂/g₁ = 4, E₂ − E₁ = 10.2 eV). 이온화된 비율은 사하 식 N_II/N_I = (2kTZ_II/P_eZ_I)(2πm_ekT/h²)^3/2e^−χ/kT를 따른다. 온도가 오르면 n = 2로 올라가는 원자는 늘지만, 동시에 이온화되어 사라지는 원자도 늘어난다. 두 효과가 겹쳐 n = 2 수소는 어떤 온도에서 가장 많아지고, 그 온도가 A형 별(약 1만 K)이다.
연결분광형 O, B, A, F, G, K, M은 성분이 아니라 온도의 순서이다. O형은 He II, B형은 He I, A형은 H, G·K형은 Ca II와 금속, M형은 TiO 분자 띠가 두드러진다. 사하 식에는 P_e가 들어 있어서, 같은 온도라도 대기가 희박한 거성·초거성에서는 이온화가 더 잘 일어나고 선의 폭도 좁다. 이 차이로 정하는 것이 MK 광도 계급(Ia, Ib, II, III, IV, V)이고, 분광형과 광도 계급을 합치면 H–R도에서 별의 자리(그리고 절대 등급)가 정해진다.
적용온도를 태양(5,772 K)에 두고 Ca II 흡수자가 n = 2 수소보다 몇 배 많은지 읽자. 온도를 올리며 발머선 곡선이 최대가 되는 온도와 분광형을 찾자. 그다음 초거성 대기로 바꾸면 그 온도는 어느 쪽으로 옮겨 가는가? 발머선 세기만으로 별의 온도를 정하려 할 때 생기는 문제는 무엇인가?
판단“O형 별에는 수소가 적어서 발머선이 약하다”, “태양에는 칼슘이 수소보다 많다”는 해석은 모두 틀린다. 거의 모든 별의 대기는 수소가 약 90 %(개수)이고, 선의 세기는 온도와 압력이 정한 준위·이온화 분포를 따른다. 또 발머선은 약 1만 K 양쪽에서 같은 세기가 될 수 있으므로, 온도를 정할 때는 He, Ca II, 금속선처럼 다른 선과 함께 봐야 한다. 이 카드의 곡선은 국소 열평형을 가정한 계산이다.

확인조건이 달라지면

표면 온도가 같은 8,500 K인 주계열성과 초거성을 비교한다. 초거성 대기는 훨씬 희박하다. 이 온도에서 두 별의 대기에 대한 설명으로 옳은 것은?

탐구 4

분광기로 찍은 별빛에서 표면 온도를 어떻게 읽을까?

실험 · 분광 관측 · 플랑크 곡선 맞추기 · 흡수선 세기

별

맞춤 온도 T = 6000 K

기기 감도 보정 안 함 (검출기 감도 곡선이 그대로 남음)

가장 밝은 파장: —
빈 법칙 온도: —
Hα 깊이: —
Ca II K 깊이: —

그래프

분광기 범위는 350~1000 nm, 분해능 약 1 nm이다. 별의 분광형과 표면 온도는 문헌의 대표값이고, 흡수선 파장(수소 발머선, Ca II H·K 393.4/396.8 nm, Na D 589 nm, He I 447.1 nm, 지구 대기 산소 A띠 759 nm 등)은 실제 값이다. 연속 스펙트럼은 플랑크 법칙, 흡수선 깊이는 분광형에 따른 경향을 나타낸 모식이다.

탐구 문제별빛을 분광기에 통과시키면 무지개 띠 위에 검은 줄이 보인다. 띠의 밝기 분포와 검은 줄의 세기로 별의 표면 온도를 구할 수 있을까? 두 방법은 같은 답을 줄까?
복원별은 근사적으로 흑체처럼 빛을 낸다. 플랑크 법칙의 곡선은 온도가 높을수록 모든 파장에서 밝고, 가장 밝은 파장이 짧아진다(빈 법칙 λ_max = 2.898 × 10⁶ nm·K / T). 대기의 원자·이온은 특정 파장을 흡수해 흡수선을 만들고, 어떤 선이 강한지는 대기 온도가 정한다.
설계같은 분광기·같은 노출로 여러 별을 찍는다. 검출기는 파장마다 감도가 달라서, 표준성(온도를 아는 별)이나 표준 램프로 구한 감도 곡선으로 나눠 주어야 진짜 모양이 나온다. 스마트폰 분광 앱으로 찍을 때도 같은 보정이 필요하다.
분석흡수선이 없는 부분에 플랑크 곡선을 겹쳐 온도를 맞춘다(높이는 자동으로 맞춤). 가장 밝은 파장이 범위 안에 있으면 빈 법칙으로도 T를 구해 비교한다. 흡수선 깊이를 온도 순으로 늘어놓으면 수소선은 약 1만 K(A형)에서, Ca II는 G·K형에서 가장 강하고, M형에는 분자(TiO) 띠가 나타난다.
측정아홉 별을 하나씩 찍고, 온도 슬라이더로 곡선을 맞춘 뒤 기록해 보자. 스피카·리겔처럼 뜨거운 별에서 빈 법칙 온도가 왜 엉터리가 되는지 설명해 보자. '감도 보정 안 함'을 켜고 태양을 다시 재면 온도가 어떻게 달라지는가?
오차·안전뜨거운 별의 최댓값은 자외선(350 nm 밖)에 있어, 범위 끝의 가장 밝은 점을 최댓값으로 읽으면 온도를 크게 낮게 잡는다. 감도 보정을 빼면 곡선 모양이 검출기 모양을 닮아 모든 별의 온도가 비슷하게 나온다(계통 오차). 별은 완전한 흑체가 아니어서 짧은 파장 쪽은 흡수선이 몰려 곡선보다 어둡다. 태양 스펙트럼은 절대 망원경이나 분광기로 태양을 직접 보며 찍지 않는다. 흰 종이나 구름에 비친 빛, 또는 태양 필터를 쓴 장비로만 찍는다.

확인조건이 달라지면

어떤 별의 스펙트럼에서 수소 발머선은 아주 약하고, He I 447.1 nm 선이 뚜렷하며, 350~1000 nm 범위에서 세기가 짧은 파장 쪽으로 갈수록 계속 커진다. 이 별에 대한 판단으로 옳은 것은?